Subdeterminant

V lineární algebře je subdeterminant nebo též minor matice $𝑨$ determinantem podmatice, která byla z matice $𝑨$ získána odstraněním některých řádků a sloupců. Počet řádků podmatice je řádem subdeterminantu. Subdeterminanty získané odstraněním právě jednoho řádku a jednoho sloupce ze čtvercové matice umožňují redukovat řád determinantu pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce. Prostřednictvím adjungované matice také souvisejí s inverzní maticí.

Definice

Pro matici $𝑨$ typu $m \times n$ a $0 \leq k \leq \min {m, n}$ se subdeterminantem nebo minorem řádu $k$ , nazývá determinant čtvercové matice řádu $k$ získané z matice $𝑨$ odebráním $m - k$ řádků a $n - k$ sloupců. Někdy se používá slovo „stupeň“ pro „řád“ subdeterminantu či minoru. Termín „minor“ se také nesprávně používá k označení čtvercové matice řádu $k$ získané uvedeným způsobem, ale tato matice by měla být označována jako (čtvercová) podmatice matice $𝑨$ , přičemž výraz „minor“ by měl být užíván pouze pro determinant této matice.

Matice $𝑨$ typu $m \times n$ má celkem $(\binom{m}{k}) \cdot (\binom{n}{k})$ subdeterminantů řádu $k$ . Subdeterminant řádu nula je definován jako 1.

Operace odebrání formálně spočívá ve výběru posloupnosti indexů řádků $1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq m$ a posloupnosti indexů sloupců $1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k} \leq n$ . Tyto vybrané množiny indexů $I = {i_{1}, \dots, i_{k}}$ a $J = {j_{1}, \dots, j_{k}}$ se použijí k výpočtu determinantu podmatice $𝑨 [I \times J]$ , čili výrazu:

\det (𝑨 [I \times J]) = | \begin{matrix} a_{i_{1}, j_{1}} & a_{i_{1}, j_{2}} & \dots & a_{i_{1}, j_{k}} \\ a_{i_{2}, j_{1}} & a_{i_{2}, j_{2}} & \dots & a_{i_{2}, j_{k}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{i_{k}, j_{1}} & a_{i_{k}, j_{2}} & \dots & a_{i_{k}, j_{k}} \end{matrix} |

Je-li $𝑨$ čtvercová matice řádu $n$ , potom její první minor je každý subdeterminant řádu $n - 1$ , a jako takový vzniká odebráním jednoho řádku a sloupce. Podobně pro druhé a další minory. Za nultý minor čtvercové matice lze považovat její determinant.

První minor, který je determinantem podmatice vytvořené z čtvercové matice $𝑨$ odstraněním $i$ -tého řádku a $j$ -tého sloupce se nazývá subdeterminant (minor) příslušný k prvku $a_{i j}$ matice $𝑨$ .

Pokud $I = J$ , čili pokud z matice bylo ponecháno $k$ řádků a sloupců se stejnými indexy, nazývá se odpovídající subdeterminant hlavním minorem stupně $k$ (platí i pro obdélníkové matice). Hlavní minor stupně $k$ , vzniklý odebráním posledních $m - k$ řádků a $n - k$ sloupců, neboli daný množinami $I = J = {1, 2, \dots, k},$ se nazývá vedoucí hlavní minor řádu $k$ . U čtvercových matic řádu $n$ se nazývá též $(n - k)$ -tý vedoucí (hlavní) minor.

Někdy jsou vedoucí hlavní minory nazývány hlavními minory, zatímco první zmíněné nejsou nijak zvlášť pojmenovány.

Ukázka

U reálné matice

𝑨 = (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{matrix})

typu $3 \times 4$ vznikne odebráním druhého řádku a také druhého a třetího sloupce, neboli ponecháním prvků s řádkovými indexy z množiny $I = {1, 3}$ a sloupcovými indexy z množiny $J = {1, 4}$ subdeterminant hodnoty:

| \begin{matrix} 1 & ◻ & ◻ & 2 \\ ◻ & ◻ & ◻ & ◻ \\ 7 & ◻ & ◻ & 4 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{matrix} | = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = - 10 .

Tento minor není hlavní, protože $I \neq J$ . Hlavní minor matice $𝑨$ je například subdeterminant

| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} | = 8

odvozený z množin $I = J = {2, 3}$ .

Vedoucí hlavní minory matice $𝑨$ jsou:

řádu 1:

| \begin{matrix} 1 \end{matrix} | = 1,

řádu 2:

| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix} | = 3,

řádu 3:

| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{matrix} | = - 55 .

Subdeterminant příslušný k prvku $a_{23}$ reálné čtvercové matice

𝑨 = (\begin{matrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ - 1 & 9 & 11 \end{matrix})

je roven:

| \begin{matrix} 1 & 4 & ◻ \\ ◻ & ◻ & ◻ \\ - 1 & 9 & ◻ \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 4 \\ - 1 & 9 \end{matrix} | = 9 - (- 4) = 13

Použití subdeterminantů

Algebraický doplněk

Šablona:Podrobně Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem prvku $a_{i j}$ čtvercové matice $𝑨$ nazýváme číslo

{\tilde{a}}_{i j} = {(- 1)}^{i + j} \det 𝑨_{i j} = | \begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, j - 1} & 0 & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 1} & \dots & a_{i - 1, j - 1} & 0 & a_{i - 1, j + 1} & \dots & a_{i - 1, n} \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_{i + 1, 1} & \dots & a_{i + 1, j - 1} & 0 & a_{i + 1, j + 1} & \dots & a_{i + 1, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, j - 1} & 0 & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n, n} \end{matrix} |,

kde $\det 𝑨_{i j}$ je subdeterminant příslušný k prvku $a_{i j}$ matice $𝑨$ . Transponovaná matice z algebraických doplňků se nazývá adjungovaná matice. Adjungovaná matice k regulární matici je $| 𝑨 |$ -násobkem její inverzní matice.

Laplaceův rozvoj determinantu

Šablona:Podrobně

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu. Pro libovolný (pevně daný) řádkový index $i$ lze determinant matice $𝑨$ řádu $n$ vyjádřit pomocí součtu součinů všech prvků tohoto řádku a jejich algebraických doplňků:

\det 𝑨 = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} {\tilde{a}}_{i j} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} {(- 1)}^{i + j} \det 𝑨_{i j}

.

Tento vzorec se nazývá (Laplaceův) rozvoj (rozklad) determinantu podle $i$ -tého řádku. Vzhledem k tomu, že se determinant nezmění transpozicí matice, lze jej vyjádřit teké rozvojem (rozkladem) podle $j$ -tého sloupce:

\det 𝑨 = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} {\tilde{a}}_{i j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} {(- 1)}^{i + j} \det 𝑨_{i j}

.

Pomocí těchto vzorců lze výpočet determinantu převést na výpočet několika subdeterminantů, jejichž řád je o jedna menší. Opakováním tohoto procesu lze dospět až k subdeterminantům prvního řádu, jejichž hodnota je odpovídá jednotlivým prvkům matice. Uvedený postup vede na rekurentní algoritmus pro výpočet determinantu. Navzdory jednoduché implementaci roste jeho výpočetní složitost exponenciálně rychle s řádem determinantu, proto je vhodnější determínant počítat např. Gaussovou eliminační metodou.

Rozvoj determinantu je možné zobecnit^[1] i na rozvoj podle víceprvkové množiny vybraných řádků s využitím všech možných subdeterminantů sestavených z těchto řádků.

Další aplikace

Každá reálná matice typu $m \times n$ hodnosti $r$ (platí i pro matice nad libovolným tělesem) má alespoň jeden nenulový subdeterminant řádu $r$ , zatímco všechny subdeterminanty řádu alespoň $r + 1$ jsou nulové.

U hermitovských matic mohou být vedoucí hlavní minory použity k testu pozitivní definitnosti podle Sylvesterova kritéria a hlavní minory mohou být podobně použity k testu pozitivní semidefinitnosti.

Jak vzorec pro obyčejný součin matic, tak i Cauchyho–Binetův vzorec pro determinant součinu matic jsou speciálními případy následujícího obecného tvrzení o subdeterminantech součinu matic. Jsou-li matice $𝑨$ typu $m \times n$ , matice $𝑩$ typu $n \times p$ a jsou-li $I$ a $J$ dvě $k$ -prvkové podmnožiny množin ${1, \dots, m}$ a ${1, \dots, p}$ , potom platí:

(𝑨 𝑩) [I \times J] = \sum_{K} 𝐀 [I \times K] \cdot 𝐁 [K \times J]

,

kde součet prochází přes všechny $k$ -prvkové podmnožiny $K$ množiny ${1, \dots, n}$ . Uvedený vztah je přímým rozšířením Cauchyho–Binetova vzorce.

Odkazy

Reference

Šablona:Překlad

↑ Šablona:Citace elektronické monografie

Literatura

Související články

Šablona:Autoritní data

Šablona:Portály

[1] Šablona:Citace elektronické monografie

[1]

Subdeterminant

Obsah

Definice

Ukázka

Použití subdeterminantů

Algebraický doplněk

Laplaceův rozvoj determinantu

Další aplikace

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Navigační menu

Subdeterminant

Definice

Ukázka

Použití subdeterminantů

Algebraický doplněk

Laplaceův rozvoj determinantu

Další aplikace

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Navigační menu

Hledat