Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo nebo metoda determinantů je matematický vzorec pro popis řešení soustavy lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí determinantů matice soustavy a matic z ní získaných nahrazením jednoho sloupce vektorem pravých stran. Je pojmenována po Gabrielu Cramerovi (1704–1752), který v roce 1750 publikoval pravidlo pro libovolný počet neznámých.^[1]

Cramerovo pravidlo má především teoretický význam, protože výpočet mnoha determinantů obvyklým způsobem je výpočetně náročný. V praxi se proto pro řešení soustav používají jiné metody numerické matematiky.

Znění

Nechť čtvercová matice $𝑨$ řádu $n$ je matici soustavy $n$ lineárních rovnic o $n$ neznámých (čili počet neznámých i rovnic je shodný). Nechť $𝑨_{i}$ je matice, získaná z matice $𝑨$ nahrazením $i$ -tého sloupce sloupcem pravých stran.

Konkrétně, pro matici soustavy $𝑨 = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ a vektor pravých stran $𝒃 = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

má $𝑨_{i}$ tvar:

𝑨_{i} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1, i - 1} & b_{1} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2, i - 1} & b_{2} & a_{2, i + 1} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n, i - 1} & b_{n} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix})

Pokud je matice soustavy $𝑨$ regulární, pak má soustava právě jedno řešení. Jednotlivé složky řešení $𝒙 = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ jsou určeny podíly ^[2]

x_{i} = \frac{\det 𝑨_{i}}{\det 𝑨}

.

Konkrétně, pro soustavu o dvou neznámých

\begin{matrix} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & = & b_{2} \end{matrix}

s rozšířenou matici soustavy

(𝑨 | 𝒃) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \end{matrix})

je řešení dáno vzorci:

x_{1} = \frac{\det 𝑨_{1}}{\det 𝑨} = \frac{| \begin{matrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |} = \frac{b_{1} a_{22} - a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}

a

x_{2} = \frac{\det 𝑨_{2}}{\det 𝑨} = \frac{| \begin{matrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |} = \frac{a_{11} b_{2} - b_{1} a_{21}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}

Pravidlo platí nejen v oboru reálných či komplexních čísel, ale i pro soustavy lineárních rovnic s koeficienty a neznámými v libovolném tělese.

Ukázky

Soustava o dvou neznámých

Reálná soustava lineárních rovnic:

\begin{matrix} 1 x_{1} & + & 2 x_{2} & = & 3 \\ 4 x_{1} & + & 5 x_{2} & = & 6 \end{matrix}

dává rozšířenou matici soustavy:

(𝑨 | 𝒃) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})

Podle Cramerova pravidla je řešení soustavy určeno podíly:

x_{1} = \frac{\det 𝑨_{1}}{\det 𝑨} = \frac{| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 5 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} |} = \frac{3 \cdot 5 - 2 \cdot 6}{1 \cdot 5 - 2 \cdot 4} = \frac{3}{- 3} = - 1

x_{2} = \frac{\det 𝑨_{2}}{\det 𝑨} = \frac{| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} |} = \frac{1 \cdot 6 - 3 \cdot 4}{1 \cdot 5 - 2 \cdot 4} = \frac{- 6}{- 3} = 2

Soustava o třech neznámých

Pro soustavu lineárních rovnic:

\begin{matrix} x_{1} & + & 2 x_{2} & + & 5 x_{3} & = & 7 \\ 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 4 \\ 3 x_{1} & + & 5 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 9 \end{matrix}

s rozšířenou maticí

(𝑨 | 𝒃) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & 3 & 9 \end{matrix})

jsou složky řešení podle Cramerova pravidla dána podíly:

x_{1} = \frac{\det 𝑨_{1}}{\det 𝑨} = \frac{| \begin{matrix} 7 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & 0 \\ 9 & 5 & 3 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \end{matrix} |} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 0 \cdot 9 + 5 \cdot 4 \cdot 5 - 7 \cdot 0 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \cdot 3 - 5 \cdot 3 \cdot 9}{1 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 0 \cdot 3 + 5 \cdot 2 \cdot 5 - 1 \cdot 0 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{4}{2} = 2

x_{2} = \frac{\det 𝑨_{2}}{\det 𝑨} = \frac{| \begin{matrix} 1 & 7 & 5 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 9 & 3 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \end{matrix} |} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 3 + 7 \cdot 0 \cdot 3 + 5 \cdot 2 \cdot 9 - 1 \cdot 0 \cdot 9 - 7 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 0 \cdot 3 + 5 \cdot 2 \cdot 5 - 1 \cdot 0 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{0}{2} = 0

x_{3} = \frac{\det 𝑨_{3}}{\det 𝑨} = \frac{| \begin{matrix} 1 & 2 & 7 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 9 \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \end{matrix} |} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 4 \cdot 3 + 7 \cdot 2 \cdot 5 - 1 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 \cdot 3}{1 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 0 \cdot 3 + 5 \cdot 2 \cdot 5 - 1 \cdot 0 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2}{2} = 1

Důkaz

Řešení soustavy splňuje vztah

x_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + x_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + x_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})

,

neboli $\sum_{j = 1}^{n} x_{j} 𝒂_{j} = 𝒃$ , kde $𝒂_{j}$ značí $j$ -tý sloupec matice $𝑨$ .

Pro matici $𝑨$ , sloupcový index $i$ a libovolný vektor $𝒗$ značí symbol $𝑨 [𝒂_{i} / 𝒗]$ matici, která vznikne z $𝑨$ nahrazením jejího $i$ -tého sloupce vektorem $𝒗$ . Mimo jiné platí již dříve zavedená notace $𝑨_{i} = 𝑨 [𝒂_{i} / 𝒃]$ .

Cramerovo pravidlo vyplývá ze dvou vlastností determinantu:

Determinant je multilineární vzhledem ke sloupcům (i řádkům) matice, tj. lineární vůči každému jednotlivému sloupci (řádku) a
je alternující vzhledem k pořadí sloupů (řádků), což má mimo jiné za následek, že determinant matice se dvěma shodnými sloupci (řádky) je nulový.

Z linearity determinantu vyplývá:

\det 𝑨_{i} = \det (𝑨 [𝒂_{i} / 𝒃]) = \det (𝑨 [𝒂_{i} / \sum_{j = 1}^{n} x_{j} 𝒂_{j}]) = \det (\sum_{j = 1}^{n} x_{j} 𝑨 [𝒂_{i} / 𝒂_{j}]) = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} \det (𝑨 [𝒂_{i} / 𝒂_{j}])

V rozvinutém tvaru lze tento krok zapsat:

| \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, i - 1} & b_{1} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, i - 1} & b_{n} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, i - 1} & \sum_{j = 1}^{n} x_{j} a_{1 j} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, i - 1} & \sum_{j = 1}^{n} x_{j} a_{n j} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

= x_{1} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, i - 1} & a_{11} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, i - 1} & a_{n 1} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | + \dots x_{i - 1} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, i - 1} & a_{1, i - 1} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, i - 1} & a_{n, i - 1} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

+ x_{i} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, i - 1} & a_{1 i} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, i - 1} & a_{n i} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

+ x_{i + 1} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, i - 1} & a_{1, i + 1} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, i - 1} & a_{n, i + 1} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | + \dots + x_{n} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, i - 1} & a_{1 n} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, i - 1} & a_{n n} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

Matice $𝑨 [𝒂_{i} / 𝒂_{i}]$ je totožná s $𝑨$ , protože fakticky nedošlo k žádnému nahrazení. Pro každé $j \neq i$ má matice $𝑨 [𝒂_{i} / 𝒂_{j}]$ svůj $i$ -tý sloupec shodný s $j$ -tým (zvýrazněny zeleně) a její determinant je roven nule.

Po vyloučení nulových členů $𝑨 [𝒂_{i} / 𝒂_{j}]$ pro $j \neq i$ se výraz redukuje na:

\det 𝑨_{i} = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} \det (𝑨 [𝒂_{i} / 𝒂_{j}]) = x_{i} \det 𝑨 [𝒂_{i} / 𝒂_{i}] = x_{i} \det 𝑨

Odtud Cramerovo pravidlo vyplývá vydělením obou stran nenulovým výrazem $\det 𝑨$ .

Krátký důkaz

Krátký důkaz Cramerova pravidla začíná pozorováním, že $x_{i}$ je determinant matice $𝑿_{i}$ , která vznikne z jednotkové matice $𝐈$ nahrazením $i$ -tého sloupce $𝐞_{i}$ vektorem řešení $𝒙$ . V notaci předchozího důkazu jde o matici:

𝑿_{i} = 𝐈 [𝐞_{i} / 𝒙] = (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & x_{1} & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & x_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & x_{n} & \dots & 1 \end{matrix})

Za předpokladu, že původní matice $𝑨$ je regulární, lze sloupce matice $𝑿_{i}$ vyjádřit výrazy $(𝑨^{- 1} 𝒂_{1}, 𝑨^{- 1} 𝒂_{2}, \dots, 𝑨^{- 1} 𝒂_{i - 1}, 𝑨^{- 1} 𝒃, 𝑨^{- 1} 𝒂_{i + 1}, \dots, 𝑨^{- 1} 𝒂_{n})$ , kde $𝒂_{j}$ je $j$ -tý sloupec matice $𝑨$ . Připomeňme, že sloupce matice $𝑨_{i}$ jsou $(𝒂_{1}, 𝒂_{2}, \dots, 𝒂_{i - 1}, 𝒃, 𝒂_{i + 1}, \dots, 𝒂_{n})$ , a proto $𝑿_{i} = 𝑨^{- 1} 𝑨_{i}$ .

Zbývá využít fakt, že determinant součinu dvou matic je součinem determinantů, z čehož vyplývá:

x_{i} = \det 𝑿_{i} = \det (𝑨^{- 1}) \det 𝑨_{i} = \frac{\det 𝑨_{i}}{\det 𝑨} .

Další verze důkazu

$\frac{\det 𝑨_{i}}{\det 𝑨} = \frac{1}{\det 𝑨} | \begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, i - 1} & b_{1} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{j - 1, 1} & \dots & a_{j - 1, i - 1} & b_{j - 1} & a_{j - 1, i + 1} & \dots & a_{j - 1, n} \\ a_{j, 1} & \dots & a_{j, i - 1} & b_{j} & a_{j, i + 1} & \dots & a_{j, n} \\ a_{j + 1, 1} & \dots & a_{j + 1, i - 1} & b_{j + 1} & a_{j + 1, i + 1} & \dots & a_{j + 1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, i - 1} & b_{n} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n, n} \end{matrix} | = \sum_{j = 1}^{n} \frac{b_{j}}{\det 𝑨} | \begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, i - 1} & 0 & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{j - 1, 1} & \dots & a_{j - 1, i - 1} & 0 & a_{j - 1, i + 1} & \dots & a_{j - 1, n} \\ a_{j, 1} & \dots & a_{j, i - 1} & 1 & a_{j, i + 1} & \dots & a_{j, n} \\ a_{j + 1, 1} & \dots & a_{j + 1, i - 1} & 0 & a_{j + 1, i + 1} & \dots & a_{j + 1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, i - 1} & 0 & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n, n} \end{matrix} |$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice $𝑨$ označíme $𝑨_{j i}$ , pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

$\frac{\det 𝑨_{i}}{\det 𝑨} = \sum_{j = 1}^{n} b_{j} \frac{(- 1)^{i + j} \det 𝑨_{j i}}{\det 𝑨}$

Zlomek ve výrazu je prvkem $(𝑨^{- 1})_{i, j}$ inverzní matice $𝑨^{- 1}$ .

$\frac{\det 𝑨_{i}}{\det 𝑨} = \sum_{j = 1}^{n} (𝑨^{- 1})_{i, j} b_{j} = (𝑨^{- 1} 𝒃)_{i}$

Protože $𝑨 𝒙 = 𝒃$ a $\det 𝑨 \neq 0$ , je $𝒙 = 𝑨^{- 1} 𝒃$ a tedy

$x_{i} = \frac{\det 𝑨_{i}}{\det 𝑨}$

Výpočetní složitost

Cramerovo pravidlo implementované naivním způsobem je výpočetně neefektivní již pro soustavy s více než třemi rovnicemi.^[3] V případě $n$ rovnic o $n$ neznámých vyžaduje výpočet $n + 1$ determinantů, zatímco Gaussova eliminace dává výsledek se stejnou výpočetní složitostí jako výpočet jediného determinantu.^[4]^[5] Cramerovo pravidlo může být také numericky nestabilní i pro soustavy o dvou rovnicích.^[6] Nedávno se však ukázalo, že Cramerovo pravidlo lze implementovat se stejnou složitostí jako Gaussova eliminace ^[7]^[8] (vyžaduje dvakrát tolik aritmetických operací a má stejnou numerickou stabilitu, pokud jsou použity stejné permutační matice).

Aplikace

Celočíselné programování

Cramerovo pravidlo lze použít k důkazu, že problém celočíselného programování, jehož matice omezení je totálně unimodulární a jehož pravá strana je celočíselná, má celočíselná bázická řešení, což výrazně usnadňuje řešení úlohy.

Obyčejné diferenciální rovnice

Cramerovo pravidlo se používá k odvození obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice metodou variace konstant.

Ricciho kalkul

Cramerovo pravidlo se používá v Ricciho kalkulu v různých výpočtech zahrnujících Christoffelovy symboly prvního a druhého druhu.^[9]

Cramerovo pravidlo lze zejména využít v důkazu, že operátor divergence na Riemannově varietě je invariantní vzhledem ke změně souřadnic.

Historie

Cramerovo pravidlo publikoval v roce 1750 Gabriel Cramer ve své knize Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques.^[1] V něm explicitně uvedl vzorce pro lineární soustavy rovnic až se třemi rovnicemi a popsal, jak lze vytvořit vzorce řešení pro soustavy rovnic s více rovnicemi. Protože determinant ještě nebyl zaveden, použil zlomky s polynomem v čitateli a jmenovateli. Jak ukazuje následující úryvek z původní práce, jsou totožné s polynomy Leibnizova vzorce .

Tento úryvek ukazuje, že Cramer ještě nepoužíval dnešní zápis soustav lineárních rovnic, protože v něm by vzorec zněl:

x_{1} = \frac{b_{1} a_{22} a_{33} - b_{1} a_{32} a_{23} - b_{2} a_{12} a_{33} + b_{2} a_{32} a_{13} + b_{3} a_{12} a_{23} - b_{3} a_{22} a_{13}}{a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{32} a_{23} - a_{21} a_{12} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13} + a_{31} a_{12} a_{23} - a_{31} a_{22} a_{13}}

Sám Cramer si byl vědom, že soustavy lineárních rovnic nemají vždy jednoznačné řešení.^[10] Étienne Bézout pak v roce 1764 ukázal, pokud soustavu rovnic nelze jednoznačně vyřešit, je determinant matice soustavy (jmenovatel ve výše uvedeném výrazu) nulový.^[10] Cramer svůj vzorec nijak nedokázal, to provedl až Augustin Louis Cauchy v roce 1815. Cauchy též zavedl dodnes používanou notaci pro zápis Cramerova pravidla.

Již v roce 1678 si Cramerovo pravidlo zapsal Gottfried Wilhelm Leibniz ve svém rukopise. Ten však byl objeven až později a neměl tak žádný vliv na vývoj metod řešení soustav lineárních rovnic.^[10] Speciální případy Cramerova pravidla pro soustavy dvou nebo tří rovnic popsal Colin Maclaurin ve svém Pojednání o algebře, publikovaném v roce 1748. Přestože měl nápad rozšířit tyto vzorce i na soustavy rovnic s více rovnicemi, nenašel na rozdíl od Cramera žádné pravidlo, jak správně nastavit znaménka v použitých polynomech.^[11] Carl Benjamin Boyer vyvolal ve 20. století spor mezi matematickými historiky, zda byl objevitelem vzorce Maclaurin nebo Cramer. Doporučil, aby pravidlo bylo přejmenováno na Maclaurinovo-Cramerovo.^[12]

Odkazy

Reference

Šablona:Překlad

↑ ^1,0 ^1,1 Gabriel Cramer: Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Genf 1750, S. 657–659.
↑ Šablona:Citace elektronického periodika
↑ Šablona:Cite book
↑ Šablona:Cite book
↑ Šablona:Cite book
↑ Šablona:Cite book
↑ Šablona:Cite journal
↑ Šablona:Cite journal
↑ Šablona:Cite book
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 Jean-Luc Chabert et al.: A History of Algorithms. From the Pebble to the Microchip. Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-63369-3, S. 284–287 (Tato kniha obsahuje anglický překlad Cramerovy původní publikace.).
↑ Antoni A. Kosinski: Cramer's Rule Is Due to cramer. In: Mathematics Magazine. Bd. 74, Nr. 4, Oktober 2001, S. 310–312.
↑ Bruce A. Hedman: An Earlier Date for „Cramer’s Rule“ In: Historica Mathematica. Bd. 24, 1999, S. 365–368.

Literatura

Související články

Externí odkazy

Šablona:Autoritní data

Šablona:Portály

[CRAMER-1] 1,0 ^1,1 Gabriel Cramer: Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Genf 1750, S. 657–659.

[2] Šablona:Citace elektronického periodika

[Poole2014-3] Šablona:Cite book

[HoffmanFrankel2001-4] Šablona:Cite book

[Shores2007-5] Šablona:Cite book

[Higham2002-6] Šablona:Cite book

[7] Šablona:Cite journal

[8] Šablona:Cite journal

[9] Šablona:Cite book

[CHABERT_EN-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 Jean-Luc Chabert et al.: A History of Algorithms. From the Pebble to the Microchip. Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-63369-3, S. 284–287 (Tato kniha obsahuje anglický překlad Cramerovy původní publikace.).

[KOSINSKI-11] Antoni A. Kosinski: Cramer's Rule Is Due to cramer. In: Mathematics Magazine. Bd. 74, Nr. 4, Oktober 2001, S. 310–312.

[HEDMAN-12] Bruce A. Hedman: An Earlier Date for „Cramer’s Rule“ In: Historica Mathematica. Bd. 24, 1999, S. 365–368.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Cramerovo pravidlo

Obsah

Znění

Ukázky

Soustava o dvou neznámých

Soustava o třech neznámých

Důkaz

Krátký důkaz

Další verze důkazu

Výpočetní složitost

Aplikace

Celočíselné programování

Obyčejné diferenciální rovnice

Ricciho kalkul

Historie

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Cramerovo pravidlo

Znění

Ukázky

Soustava o dvou neznámých

Soustava o třech neznámých

Důkaz

Krátký důkaz

Další verze důkazu

Výpočetní složitost

Aplikace

Celočíselné programování

Obyčejné diferenciální rovnice

Ricciho kalkul

Historie

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Hledat