Trojúhelníková matice

Horní trojúhelníková matice může mít nenulové prvky pouze ve zvýrazněném trojúhelníku, tedy na hlavní diagonále (vyznačené tučně) a nad ní. Všechny prvky pod diagonálou jsou nulové.

Trojúhelníková matice je v matematice speciální druh čtvercové matice. Horní trojúhelníková matice má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule. Podobně dolní trojúhelníková matice má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.

Maticové rovnice s trojúhelníkovými maticemi jsou snadněji řešitelné, a proto jsou trojúhelníkové matice důležité zejména v numerické matematice. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí LU rozkladu je založeno na rozkladu matice na součin dolní trojúhelníkové matice $𝑳$ a horní trojúhelníkové matice $𝑼$. Regulární matice má LU rozklad, právě když má všechny vedoucí hlavní subdeterminanty nenulové.

Definice

Horní trojúhelníková matice řádu $n$ je matice tvaru:

$𝑼=\left(\begin{array}{ccccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& \dots & u_{1n}\\ 0& u_{22}& u_{23}& \dots & u_{2n}\\ 0& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \ddots & u_{n-1,n}\\ 0& 0& 0& 0& u_{nn}\end{array}\right)$

Formálně prvky horní trojúhelníkové matice splňují: $u_{ij}=0$ pro $i>j$.

Dolní trojúhelníková matice je matice tvaru:

$𝑳=\left(\begin{array}{ccccc}{l}_{11}& 0& 0& 0& 0\\ l_{21}& l_{22}& 0& 0& 0\\ l_{31}& l_{32}& \ddots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ l_{n1}& l_{n2}& \dots & l_{n,n-1}& l_{nn}\end{array}\right)$

Formálně prvky dolní trojúhelníkové matice splňují: $l_{ij}=0$ pro $i<j$.

Speciálním případem je diagonální matice, která je horní i dolní trojúhelníkovou maticí zároveň.

Horní trojúhelníkové matice se v literatuře obvykle značí $𝑼$ z angl. upper, případně $𝑹$ - right, zatímco pro dolní trojúhelníkové se používá symbol $𝑳$ - lower, resp. left.

Striktně horní a striktně dolní trojúhelníkové matice

Hodnoty prvků na hlavní diagonále nejsou u trojúhelníkových matic nijak omezeny. Jsou-li všechny prvky na hlavní diagonále trojúhelníkové matice rovny nule, jde o striktně horní, resp. striktně dolní trojúhelníkovou matici. Striktně horní i striktně dolní trojúhelníkové matice patří mezi nilpotentní matice.

Ukázky

Matice

$\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 3& 4\\ 0& 5& 5& 6\\ 0& 0& 0& 7\\ 0& 0& 0& 9\end{array}\right)$

je horní trojúhelníková, zatímco

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 96& 0\\ 4& 9& 69\end{array}\right)$

je dolní trojúhelníková.

Matice

$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -5& 0\end{array}\right)$

je striktně dolní trojúhelníková.

Dopředná a zpětná substituce

Soustavy lineárních rovnic ve tvaru $𝑳𝒙=𝒃$ a $𝑼𝒙=𝒃$ jsou řešitelné dopřednou substitucí pro dolní trojúhelníkové matice s nenulovou diagonálou a analogicky zpětnou substitucí pro horní trojúhelníkové matice. Název odpovídá postupu, kdy pro dolní trojúhelníkové matice se z první rovnice soustavy nejprve určí $x_1$, to se pak dosadí do následující rovnice, aby bylo možné určit $x_2$, a tento postup se opakuje až pro $x_n$. U horní trojúhelníkové matici se postupuje obráceně, nejprve se z poslední rovnice soustavy určí $x_n$, to se pak dosadí do předchozí rovnice, z níž se určí $x_{n-1}$, atd. až se dojde k $x_1$.

Ani v jednom z uvedených postupů není třeba invertovat matici soustavy.

Dopředná substituce

Maticová rovnice $𝑳𝒙=𝒃$ s dolní trojúhelníkovou maticí $𝑳$ s nenulovými prvky na diagonále odpovídá následující soustavě lineárních rovnic:

$\begin{array}{ccccccccc}{l}_{11}{x}_1& & & & & & & =& b_1\\ l_{21}{x}_1& +& l_{22}{x}_2& & & & & =& b_2\\ ⋮& & ⋮& & \ddots & & & & ⋮\\ l_{n1}{x}_1& +& l_{n2}{x}_2& +& \cdots & +& l_{nn}{x}_n& =& b_n\end{array}$

První rovnice $l_{11}{x}_1=b_1$ obsahuje jedinou neznámou $x_1$, a tak z ní lze přímo určit první složku řešení $x_1$. Druhá rovnice se týká jen neznámých $x_1$ a $x_2$, a proto ji lze jednoznačně vyřešit, jakmile se do $x_1$ dosadí hodnota získaná z první rovnice. Obecně, $j$-tá rovnice obsahuje pouze neznámé $x_1,\dots ,x_j$, a proto z ní lze určit $x_j$ pomocí již dříve získaných hodnot neznámých $x_1,\dots ,x_{j-1}$. Postupu odpovídají následující vzorce pro výpočet řešení:

$\begin{array}{cc}{x}_1& =\frac{b_1}{l_{11}},\\ x_2& =\frac{b_2-l_{21}{x}_1}{l_{22}},\dots \\ x_j& =\frac{b_j-\sum _{i=1}^{j-1}{l}_{ji}{x}_i}{l_{jj}},\dots \\ x_n& =\frac{b_n-\sum _{i=1}^{n-1}{l}_{ni}{x}_i}{l_{nn}}.\end{array}$

Maticovou rovnici s horní trojúhelníkovou maticí $𝑼$ lze vyřešit podobně, pouze v obráceném pořadí rovnic i neznámých.

Aplikace

Dopředná substituce se používá v ekonometrii ke konstrukci výnosové křivky.

Další vlastnosti

• Matice je dolní trojúhelníková, právě když její transpozice je horní trojúhelníková matice.
• Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.
• Součin dvou striktně trojúhelníkových matic stejného typu je striktně trojúhelníková matice téhož typu.
• Trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále je regulární a matice k ní inverzní je trojúhelníková matice stejného typu.
• Pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant i permanent jsou rovny součinu prvků na hlavní diagonále.
• Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou prvky na hlavní diagonále. Počet výskytů vlastního čísla na diagonále je jeho algebraická násobnost, čili jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu $p_{𝑨}(x)=\det (𝑨-x𝐈)$ matice $𝑨$. Jinými slovy, charakteristický polynom trojúhelníkové matice $𝑨$ řádu $n$ je roven

$p_{𝑨}(x)=(a_{11}-x)(a_{22}-x)\cdots (a_{nn}-x)$,

což je polynom stupně $n$, jehož kořeny jsou prvky na diagonále matice $𝑨$ (včetně násobností). Uvedený vztah vyplývá ze skutečnosti, že $𝑨-x𝐈$ je také trojúhelníková matice a tudíž její determinant $\det (𝑨-x𝐈)$ je součinem prvků na její diagonále, což jsou právě $a_{11}-x,a_{22}-x,\dots ,a_{nn}-x$.

Algebraické vlastnosti

• Množina všech horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou Lieovu algebru. Množina všech nilpotentních horních trojúhelníkových matic tvoří nilpotentní Lieovu algebru .
• Množina všech regulárních horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou grupu. Množina všech unipotentních horních trojúhelníkových matic, což jsou horní trojúhelníkové matice s 1 na diagonále, tvoří nilpotentní grupu.
• Trojúhelníková matice řádu $n$ může mít nejvýše $\frac{n(n+1)}{2}$ nenulových prvků, což je také dimenze odpovídající Lieovy grupy, resp. algebraické grupy.

Stejné vlastnosti mají i dolní trojúhelníkové matice.

Aplikace

Pro své speciální vlastnosti se trojúhelníkové matice používají v různých oblastech matematiky, zejména v numerické matematice. V následujících tvrzeních jsou uvažovány matice nad tělesem komplexních čísel $ℂ$:

• Gaussova eliminace provedená na regulární matrici $𝑨$ odpovídá výpočtu vhodné permutační matice $𝑷$ a LU rozkladu $𝑷𝑨=𝑳𝑼$, kde $𝑳$ je dolní trojúhelníková matice s 1 na diagonále a $𝑼$ je horní trojúhelníková.
• QR rozklad $𝑨=𝑸𝑹$ matice $𝑨$ na součin unitární matice $𝑸$ a horní trojúhelníkové matrici $𝑹$ lze vypočítat mimo jiné pomocí Householderových transformací, Givensových rotací nebo Gramovy–Schmidtovy ortogonalizace .
• V Jordanově normální formě je matice podobnostně převedena na téměř diagonální trojúhelníkový tvar.
• Při Schurově rozkladu je daná matice vyjádřena coby matice unitárně podobná vhodné trojúhelníkové matici. Schurův rozklad lze získat např. pomocí QR algoritmu.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie