Jordanova normální forma

Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice.

Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici $A$ existuje Jordanův tvar $J$, který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice $R$, že $A=R^{-1}JR$. Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice $A$. Objevil ho Camille Jordan roku 1870, a po něm se proto Jordanova normální forma jmenuje.

Podoba Jordanova tvaru

Matice $J\in {ℂ}^{n\times n}$v Jordanově tvaru je blokově diagonální taková, že:

$J=\left(\begin{array}{ccc}{J}_{k_1}({\lambda }_1)& & \\ & \ddots & \\ & & J_{k_n}({\lambda }_n)\end{array}\right),$

kde $J_k(\lambda )\in {ℂ}^{k\times k}$, tzv. Jordanův blok vlastního čísla $\lambda$ dimenze $k$, je horní trojúhelníková matice ve tvaru:

$J_k(\lambda )=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right).$

Matice v Jordanově tvaru má tedy na diagonále obecná komplexní čísla, těsně nad diagonálou 1 nebo 0 a všude jinde nuly.

Pozn.: Nuly v maticovém zápisu Jordanova tvaru zpravidla vynecháváme, jinak by se zápis stal nepřehledným. Automaticky můžete předpokládat, že všechna prázdná místa v maticích budou vyplněna nulami.

Příklad 1

Následující matice je v Jordanově tvaru:

$J=\left(\begin{array}{cccccc}5& 1& & & & \\ & 5& & & & \\ & & 8& & & \\ & & & 8& 1& \\ & & & & 8& 1\\ & & & & & 8\end{array}\right).$

Skládá ze tří Jordanových bloků $J_2(5),J_1(8),J_3(8)$ velikosti 2×2, 1×1 a 3×3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Příklad 2

Jakákoliv n×n diagonální matice $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$ je v Jordanově tvaru: má n bloků $J_1({\lambda }_i)$ o rozměru 1×1.

Souvislost s vlastními čísly

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Připomeňme si stručně tyto pojmy:

• Vlastní číslo matice je takové $\lambda$, které pro nějaký nenulový vektor $v$ splňuje $Av=\lambda v$. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako $(A-\lambda I)v=0$.
• Máme-li matici $A$ a její vlastní číslo $\lambda$, hodnota $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A-\lambda I)$ se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla $\lambda$.
• Polynom $p_A(\lambda )=\det (A-\lambda I)$se nazývá charakteristický polynom matice $A$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly $A$. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost $\lambda$ jako kořene tohoto polynomu.

Z těchto definic je zřejmé, že Jordanův blok $J_k(\lambda )$ má vlastní číslo $\lambda$ s algebraickou násobností $k$ a geometrickou násobností 1. Lze ukázat, že se násobnosti bloků v Jordanově tvaru sčítají, matice s vlastním číslem $\lambda$ s algebraickou násobností $a$ a geometrickou násobností $g$ bude tedy mít pro toto vlastní číslo $g$ Jordanových bloků, jejichž součet dimenzí bude $a$.

Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché, se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice $A$, jejíž Jordanův kanonický tvar $J$

• obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1, se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
• Matice, která není diagonalizovatelná, ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
• Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna, se v angličtině nazývá „derogatory“ (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
• A naopak, matice se v angličtině nazývá „nonderogatory“ pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům $r\ne q$ odpovídají různá vlastní čísla ${\lambda }_r\ne {\lambda }_q$).

Vlastnosti

Každá matice $A\in {ℂ}^{n\times n}$ je podobná matici s Jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož Jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice

Demonstrujme si Jordanův rozklad na jednoduchém příkladu. Máme rozložit matici

$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\pi }{6}+2& 4\\ -1& \frac{\pi }{6}-2\end{array}\right).$

Nejprve určíme vlastní čísla této matice, například pomocí determinantu

$\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}\frac{\pi }{6}+2-\lambda & 4\\ -1& \frac{\pi }{6}-2-\lambda \end{array}\right|=0.$

Dostáváme

$\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-\frac{\pi }{3}\lambda +\frac{{\pi }^2}{36}={(\lambda -\frac{\pi }{6})}^2=0.$

Nalezli jsme tedy vlastní číslo ${\lambda }_1=\frac{\pi }{6}$ s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení $x$ homogenní soustavy $(A-{\lambda }_{1}I)x=0$. Zřejmě

$A-{\lambda }_{1}I=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -2\end{array}\right)$

a jedním z hledaných řešení je například vektor $x_1=(2,-1{)}^T$. Všimněme si, že matice $A-{\lambda }_{1}I$ má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice $A$ nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici $X$. Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor $x_1$, druhým sloupcem $x_2$ bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí

$A{x}_2=x_1+\lambda x_2.$

Snadno se přesvědčíme, že $x_2=(1,0{)}^T$. Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

$\left(\begin{array}{cc}\frac{\pi }{6}+2& 4\\ -1& \frac{\pi }{6}-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{\pi }{6}& 1\\ 0& \frac{\pi }{6}\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right)}^{-1},$

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice $A$. Obsahuje jediný Jordanův blok velikosti 2.