Defektní matice

Defektní maticí se v lineární algebře nazývá čtvercová matice, pro kterou nelze sestavit bázi složenou z vlastních vektorů, a proto není diagonalizovatelná.

Pro řešení defektních soustav obyčejných diferenciálních rovnic a podobných problémů je báze obvykle sestrojena doplněním vlastních vektorů o zobecněné vlastní vektory.

Ukázka

Reálná matice

$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$

je defektní, protože má dvojnásobné vlastní číslo 3, ale dimenze prostoru vlastních vektorů $\{(c,0{)}^{\mathrm{T}}:c\in ℝ\}$ je jen 1.

Vlastnosti

Defektní matice řádu $n$ má méně než $n$ různých vlastních čísel, protože různá vlastní čísla odpovídají navzájem lineárně nezávislým vlastním vektorům. Komplexní defektní matice mají alespoň jedno vlastní číslo $\lambda$ algebraické násobnosti větší než 1. Pokud je algebraická násobnost vlastního čísla $\lambda$ větší než jeho geometrická násobnost (čili jeho násobnost coby kořene charakteristického polynomu převyšuje počet jemu příslušných lineárně nezávislých vlastních vektorů), pak se $\lambda$ nazývá defektní vlastní číslo. Přesto ke každému vlastnímu číslu algebraické násobností $m$ lze nalézt $m$ lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů.

Reálné symetrické matice, komplexní hermitovské matice a komplexní unitární matice nejsou defektní. Obecněji, normální matice (které zahrnují hermitovské a unitární matice jako speciální případy) nejsou defektní.

Jordanovy bloky

Každý netriviální Jordanův blok rozměru alespoň $2\times 2$ je defektní. Například Jordanův blok řádu $n$

$𝑱=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& \\ & \lambda & \ddots \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right)$

má vlastní číslo $\lambda$ s algebraickou násobností $n$ (nebo větší, pokud existují další Jordanovy bloky se stejným vlastním číslem). Tomuto bloku však přísluší pouze jeden vlastní vektor $𝑱{𝒗}_1=\lambda {𝒗}_1$, kde ${𝒗}_1=(1,0,\dots ,0{)}^{\mathrm{T}}$. Ostatní vektory standardní báze, konkrétně ${𝒗}_2=(0,1,0\dots ,0{)}^{\mathrm{T}},\dots ,{𝒗}_n=(0,\dots ,0,1{)}^{\mathrm{T}}$ tvoří řetězec zobecněných vlastních vektorů. Tyto vektory splňují $𝑱{𝒗}_k=\lambda {𝒗}_k+{𝒗}_{k-1}$, pro každé $k\in \{2,\dots ,n\}$.

Každá komplexní defektní matice má netriviální Jordanovu normální formu, tj. s alespoň jedním blokem řádu větším než 1.

Diagonální matice je speciální případ Jordanovy normální formy se všemi triviálními Jordanovými bloky řádu 1, a proto diagonální matice nejsou defektní.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Diagonalizovatelná matice
• Báze
• Jordanův normální tvar