Převrácená hodnota

V matematice se jako převrácená (neboli reciproká) hodnota čísla x označuje to číslo, které po vynásobení číslem x dává jako výsledek 1. Převrácená hodnota čísla x se označuje jako $\frac{1}{x}$ nebo $x^{-1}$. Platí tedy, že $x\cdot x^{-1}=1$.

Nula je jediné číslo, které nemá převrácenou hodnotu v racionálním, reálném ani komplexním oboru. (Komplexní čísla však lze rozšířit o tzv. komplexní nekonečno, které je v takto rozšířeném oboru jednoznačným převráceným číslem k nule.) Všechna ostatní čísla z těchto oborů ji mají, přičemž převrácená hodnota racionálního čísla je racionální číslo, převrácená hodnota reálného čísla je reálné číslo (ale převrácená hodnota celého čísla není číslo celé (s výjimkou ±1), ale číslo racionální).

Převrácenou hodnotu komplexního čísla v algebraickém tvaru $z=a+b\mathrm{i}$ lze vyjádřit jako

$\frac{1}{z}=\frac{1}{a+b\mathrm{i}}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}\mathrm{i}$,

v goniometrickém tvaru

$\frac{1}{z}=\frac{1}{r(\cos (\phi )+\mathrm{i}\sin (\phi ))}=\frac{1}{r}(\cos (-\phi )+\mathrm{i}\sin (-\phi )).$

V abstraktní algebře je převrácená hodnota označována jako inverzní prvek vzhledem k násobení, jedná se o speciální případ inverzního prvku.

Aplikace

Mnoho prakticky použitelných odvozených veličin (nejen fyzikálních) je definováno jako převrácené hodnoty jiných veličin. Jejich jednotky pak mají v dané soustavě veličin rozměr s rozměrovými exponenty opačného znaménka. Příklady:

• Frekvence je převrácenou hodnotou periody. Jednotka hertz je proto v soustavě SI rovna reciproké sekundě.
• Veličina poddajnost je definována jako převrácená hodnota tuhosti pružné soustavy.
• Vzájemně reciprokými jsou elektrický odpor a elektrická vodivost.

Platí to i pro některé důležité fyzikální konstanty, např.:

• kvantum magnetického toku ${𝛷}_0$ je převrácenou hodnotou Josephsonovy konstanty $K_{\mathrm{J}}$ a má tedy jak hodnotu vyjádřenou převráceným číslem, tak definici vyjádřenou převráceným zlomkem zahrnujícím elementární náboj $e$ a Planckovu konstantu $h$ (třebaže jednotky jsou jiné, ale respektující převrácený rozměr veličiny):

  ${𝛷}_0=h/(2e)$ = 2,067 833 848…×10⁻¹⁵ Wb,

  $K_{\mathrm{J}}=2e/h$ = 483 597,848 4…×10⁹ Hz·V⁻¹, a tedy

  2,067 833 848…×10⁻¹⁵ = (483 597,848 4…×10⁹)⁻¹.

Související články

• Inverzní prvek
• Opačné číslo