Sčítání matic

Ilustrace součtu dvou matic.

V matematice je součet matic binární operace na množině matic stejného typu definovaná sčítáním po složkách, tj. sečtením prvků na odpovídajících pozicích. Existují ale i další operace, které lze považovat za formu součtu matic a to direktní součet a Kroneckerův součet.

Součet po prvcích

Standardní součet matic je definován pro dvě matice stejných rozměrů. Součet dvou matic $𝑨$ a $𝑩$ typu $m\times n$ je opět matice typu $m\times n$ , která je vypočtena součtem prvků na stejných pozicích. Značí se $𝑨+𝑩$ a formálně je definována vztahem $(𝑨+𝑩{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$. Rozepsáno podrobněji:

$\begin{array}{cc}𝑨+𝑩& =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)\\ \end{array}$

Například:

$\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+0& 3+0\\ 1+7& 0+5\\ 1+2& 2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 8& 5\\ 3& 3\end{array}\right)$

Matice stejného typu lze i vzájemně odečítat. Rozdíl matic $𝑨-𝑩$ je dán rozdíly prvků matic $𝑨$ a $𝑩$ na odpovídajících pozicích, čili $(𝑨-𝑩{)}_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$. Vzhledem k tomu, že rozdíl je zvláštním případem součtu: $𝑨-𝑩=𝑨+(-1)𝑩$, má výsledná matice stejné rozměry jako $𝑨$ i $𝑩$. Například:

$\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-0& 3-0\\ 1-7& 0-5\\ 1-2& 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -6& -5\\ -1& 1\end{array}\right)$

Šablona:KotvaDirektní součet

Další operace, která se používá méně často, je přímý součet (zápis ⊕). Kronekerův součet se též značí ⊕; rozdíl by měl být zřejmý. Přímý součet jakékoli dvojice matic $𝑨$ typu $m\times n$ a $𝑩$ typu $p\times q$ je matice typu $(m+p)\times (n+q)$ a definována vztahem

$𝑨\oplus 𝑩=\left(\begin{array}{cc}𝑨& 0\\ 0& 𝑩\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1q}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& b_{p1}& \cdots & b_{pq}\end{array}\right)$

Například,

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Přímý součet matic je speciální typ blokové matice, konkrétně přímý součet čtvercových matic je bloková diagonální matice.

Přímý součet $n$ matic je dán vztahem:

$\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{𝑨}_i=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({𝑨}_1,{𝑨}_2,{𝑨}_3,\dots ,{𝑨}_n)=\left(\begin{array}{cccc}{𝑨}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {𝑨}_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {𝑨}_n\end{array}\right),$

kde nuly značí nulové matice odpovídajících rozměrů.

Například matice sousednosti sjednocení disjunktních grafů nebo multigrafů je přímým součtem matic sousedností grafů v sjednocení.

Kroneckerův součet

Kroneckerův součet se liší od přímého součtu, ale používá stejnou značku ⊕. Definuje se použitím Kroneckerova součinu ⊗ a normálního maticového součtu. Pokud $𝑨$ je typu $n\times n$, $𝑩$ je typu $m\times m$ a ${𝐈}_k$ označuje jednotkovou matici $k\times k$, pak Kroneckerův součet matic je definován předpisem:

$𝑨\oplus 𝑩=𝑨\otimes {𝐈}_m+{𝐈}_n\otimes 𝑩$

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Petr Olšák: Lineární algebra
• Luboš Motl, Miloš Zahradník: Pěstujeme lineární algebru
• Šablona:Cite book

Související články

• Matice

Externí odkazy

Česky:

• http://www.matweb.cz/matice
• https://web.archive.org/web/20120607033247/http://matematika-online-a.kvalitne.cz/matice.htm

Anglicky:

• 4x4 Matrix Addition and Subtraction
• Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices
• Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations Šablona:Wayback
• Matrix Algebra and R