Ortonormální báze

Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy, označující takovou bázi prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe kolmé a všechny prvky báze jsou jednotkové.

Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.

Prostor konečné dimenze

Nechť $V$ je konečně rozměrný vektorový prostor se skalárním součinem $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ indukující normu $\Vert \cdot \Vert$. Pod ortonormální bází prostoru $V$ pak rozumíme bázi $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$:

• $\Vert b_i\Vert =1$ pro $i\in \{1,\dots ,n\}$,
• $⟨b_i,b_j⟩=0$ pro $i\ne j$, kde $i,j\in \{1,\dots ,n\}$.

Například následující báze (tzv. kanonická) je ortonormální bází vektorového prostoru ${ℝ}^3$:

$\overrightarrow{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),$

neboť každý z těchto vektorů má jednotkovou délku a všechny vzájemně různé vektory jsou na sebe kolmé, protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

Obecný případ

V obecném případě unitárního prostoru $V$ nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem $S$ ve $V$ takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve $V$.

Úplný ortonormální systém $S$ má proto tu vlastnost, že pro každý prvek $v\in V$ můžeme psát Fourierův rozvoj:

$v=\sum _{u\in S}⟨v,u⟩u$.

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek $v$ nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z $S$), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z $S$, tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru $V$, leží ale hustě v tomto prostoru.