Tečný vektor

Tečný vektor

Tečný vektor v bodě ${𝐫}_0$ křivky, jejíž body jsou určeny rádiusvektorem $𝐫=𝐫(t)$ a která prochází bodem ${𝐫}_0=[x_0,y_0,z_0]$ dané křivky, je vektor

${\left(\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\right)}_0=[{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0,{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0,{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0]$.

Jednotkovým tečným vektorem $𝐭$ se nazývá vektor jednotkový vektor ve směru tečného vektoru, tedy

$𝐭=\frac{\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}}}=(\frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}},\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}},\frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}})$

Pokud je parametrem křivky oblouk $s$, pak platí

$𝐭=\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}s}$

Rovnice tečny

Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru $𝐭$ představují směrové kosiny tečny v daném bodě křivky.

Rovnici tečny ke křivce $𝐫=𝐫(t)$ v bodě ${𝐫}_0$ lze zapsat jako

$\frac{X-x_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}_0}=\frac{Y-y_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}_0}=\frac{Z-z_0}{{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}_0}$

nebo ve vektorovém tvaru

$𝐑={𝐫}_0+u{\left(\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\right)}_0$,

kde ${𝐫}_0=[x_0,y_0,z_0]$ je bod dotyku tečny, $𝐑=[X,Y,Z]$ jsou body tečné přímky, $t$ je parametr křivky a $u$ je parametr tečny.