Projekce (lineární algebra)

V lineární algebře a funkcionální analýze je projekce lineární transformace $P$ nějakého vektorového prostoru na sebe taková, že $P^2=P$ . To znamená, že pokud $P$ aplikujeme na jakoukoli hodnotu opakovaně, výsledek je stejný, jako kdybychom ji použili jen jednou (je to idempotentní zobrazení, které nemění prostor svých obrazů). Tato definice formalizuje a zobecňuje myšlenku geometrické projekce.

Definice

Projekce na vektorovém prostoru $V$ je lineární operátor $P:V\mapsto V$ takový, že $P^2=P$.

Pokud $V$ má skalární součin a je úplný (tj. když $V$ je Hilbertův prostor), lze použít pojem ortogonality. Projekce $P$ na Hilbertově prostoru $V$ se nazývá ortogonální projekce, pokud platí $⟨Px,y⟩=⟨x,Py⟩$ pro všechny $x,y\in V$. Projekce na Hilbertově prostoru, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekce.

Projekční matice

• V konečnědimenzionálním případě se čtvercová matice $P$ nazývá projekční matice, pokud se rovná svému čtverci, tzn $P^2=P$. Šablona:Rp
• Čtvercová matice $P$ se nazývá ortogonální projekční matice, pokud $P^2=P=P^{\mathrm{T}}$ pro reálnou matici, resp $P^2=P=P^{\mathrm{H}}$ pro komplexní matici, kde $P^{\mathrm{T}}$ označuje transponování $P$ a $P^{\mathrm{H}}$ označuje hermitovsky sdruženou matici k $P$. Šablona:Rp
• Projekční matice, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekční matice .

Vlastní hodnoty projekční matice musí být 0 nebo 1.

Příklady

Ortogonální projekce

Například funkce, která mapuje bod $(x,y,z)$ v trojrozměrném prostoru ${ℝ}^3$ do bodu $(x,y,0)$, je ortogonální projekce na rovinu určenou souřadnými osami x a y . Tato funkce je reprezentována maticí

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

Akce této matice na obecný vektor je

$P\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right).$

Že $P$ je skutečně projekce, tj. $P=P^2$, dokážeme takto:

$P^2\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.

Jelikož $P^{\mathrm{T}}=P$, tak tato projekce je ortogonální.

Šikmá projekce

Jednoduchý příklad neortogonální (šikmé) projekce je

$P=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right].$

Prostřednictvím násobení matic vidíme

$P^2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]=P.$

To dokazuje, že $P$ je opravdu projekce.

Projekce $P$ je ortogonální tehdy a jen tehdy, jestliže $\alpha =0$, protože teprve potom $P^{\mathrm{T}}=P$ .

Vlastnosti a klasifikace

Transformace T je projekce podél k na m. Oborem hodnot T je m a nulový prostor je k..

Idempotence

Podle definice je každá projekce $P$ idempotent (tj $P^2=P$ ).

Komplementarita oboru hodnot a jádra

Nechť $W$ je konečnorozměrný vektorový prostor a $P$ projekce na $W$. Předpokládejme, že podprostory $U$ a $V$ jsou obraz a jádro $P$. Pak $P$ má následující vlastnosti:

1. $P$ je operátor identity $I$ na $U$

   $\mathrm{\forall }x\in U:Px=x$ .

2. Lze psát $W=U\oplus V$, tj. každý vektor $x\in W$ může být jedinečně rozložen jako $x=u+v$, přičemž $u=Px$ a $v=x-Px=(I-P)x$, a $u\in U,v\in V$.

Obraz a jádro projekce jsou komplementární stejně jako jsou komplementární operátory $P$ a $Q=I-P$ . Operátor $Q$ je také projekce, jejíž obraz je jádro $P$, a jeho jádro naopak obrazem $Q$.

Spektrum

I ve vektorových prostorech nekonečné dimenzí (stejně jako u konečné dimenze) je spektrum projekce obsaženo v množině $\{0,1\}$, jelikož

$(\lambda I-P{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }I+\frac{1}{\lambda (\lambda -1)}P.$

Pouze 0 nebo 1 může být vlastním číslem projekce, což značí, že $P$ je vždy pozitivně semi-definitivní operátor/matice. Odpovídající vlastní prostory jsou jádrem a obrazem projekce. Rozklad vektorového prostoru na přímé součty není obecně jedinečný. Proto k podprostoru $V$ může existovat mnoho různých projekcí, jejichž obraz (nebo jádro) je $V$ .

Pokud je projekce netriviální, má minimální polynom $x^2-x=x(x-1)$, který má různé kořeny, a tedy $P$ je diagonalizovatelná.

Součin projekcí

Součin projekcí není sám obecně projekcí, i když jde o součin ortogonálních projekcí. Pokud projekce komutují, je jejich součin projekcí.