Eulerův vzorec

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$

Na Eulerův vzorec je zvykem nahlížet jako na větu komplexní analýzy.

Význam vzorce

Eulerův vzorec umožňuje definovat mocnění komplexním číslem a protože exponenciální funkce je inverzní funkcí k logaritmu, umožňuje definovat i logaritmy komplexních čísel.

Platí, že $|e^{i\phi }|=1$ pro libovolné reálné $\phi$ a vzorec tedy generuje komplexní jednotky. Tím mimo jiné zjednodušuje zápis goniometrického tvaru komplexních čísel.

Důkaz

Taylorův rozvoj exponenciální funkce reálné proměnné je:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots =\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\text{ pro }x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

Její definiční obor lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + ib, kde i je imaginární jednotka). Pro další odvození stačí uvažovat, že x je ryze imaginární číslo (x = ib); dosazením do Taylova rozvoje dostaneme:

$e^{ib}=\frac{{(ib)}^0}{0!}+\frac{{(ib)}^1}{1!}+\frac{{(ib)}^2}{2!}+\frac{{(ib)}^3}{3!}+\cdots =\frac{i^0{b}^0}{0!}+\frac{i^1{b}^1}{1!}+\frac{i^2{b}^2}{2!}+\frac{i^3{b}^3}{3!}+\cdots =\frac{b^0}{0!}+\frac{i{b}^1}{1!}+\frac{i^2{b}^2}{2!}+\frac{i.i^2{b}^3}{3!}+\cdots$

Využijeme toho, že i² = -1:

$e^{ib}=\frac{b^0}{0!}+\frac{i{b}^1}{1!}+\frac{(-1)b^2}{2!}+\frac{i(-1)b^3}{3!}+\cdots$

Přerovnáme členy a vytkneme imaginární jednotku i z členů, které ji obsahují:

$e^{ib}=(\frac{b^0}{0!}-\frac{b^2}{2!}+\cdots )+i(\frac{b^1}{1!}-\frac{b^3}{3!}+\cdots )$

Uzávorkované části jsou Taylorovy rozvoje funkcí kosinus a sinus reálné proměnné b:

$\cos b=\frac{b^0}{0!}-\frac{b^2}{2!}+\frac{b^4}{4!}-\frac{b^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{b^{2n}}{(2n)!}\text{ pro }b\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

$\sin b=\frac{b^1}{1!}-\frac{b^3}{3!}+\frac{b^5}{5!}-\frac{b^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\frac{b^{2n+1}}{(2n+1)!}\text{ pro }b\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

čímž dostáváme Eulerův vzorec:

$e^{ib}=\cos (b)+i\sin (b)$

Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je $x$ číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného.

Pro obecnou definici umocňování komplexním číslem použijeme vzorec $e^{r+s}=e^r.e^s$:

$e^{a+ib}=e^a.(\cos b+i\sin b)$

Odkazy

Související články

• Diferenciální rovnice
• Integrace použitím Eulerova vzorce
• Moivreova věta

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat