Umocňování

Umocňování je matematická operace, která vychází z opakovaného násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

$\underset{n\mathrm{-}\mathrm{k}\mathrm{r}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{t}}{\underbrace{z\cdot z\cdot z\cdots z}}=z^n$

V tomto vzorci se Šablona:Var označuje jako základ mocniny (mocněnec) a Šablona:Var se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „Šablona:Var-tá mocnina čísla Šablona:Var“, „Šablona:Var na Šablona:Var-tou“. Například Šablona:Nowrap je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme 3Šablona:Sup. Exponent může být obecně reálné, nebo dokonce komplexní číslo (viz #Definice).

Speciálním případem prázdného součinu je Šablona:VarŠablona:Sup = 1 (pro Šablona:Var ≠ 0, jinak viz #Nula na nultou). Pro nulový základ a kladný exponent (Šablona:Var > 0) pak platí 0Šablona:Sup = 0.

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru z^n, někdy také z**n.

Pomocí umocňování je definováno několik základních funkcí a posloupností: Mocninná funkce Šablona:Nowrap, exponenciální funkce Šablona:Nowrap, geometrická posloupnost Šablona:Nowrap a funkce Šablona:Nowrap.

Inverzní operace k umocňování je odmocňování. Opakované umocňování je tetrace.

Definice

Mocnina s přirozeným exponentem ($n\in \mathbb{N}$) se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto:

$z^1=z$

$z^{n+1}=z^n\cdot z$

Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu ($z\ne 0$) tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty ($n\in \mathbb{Z}$):

$z^n=\frac{z^{n+1}}{z}$

$z^0=\frac{z}{z}=1$

$z^{-n}=\frac{1}{z^n}={\left(\frac{1}{z}\right)}^n$

Definici lze dále zobecnit pro racionální exponent s využitím odmocňování:

$z^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{z^n}$

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity:

$z^n=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to n}{x\in \mathbb{Q}}}{\lim }{z}^x$

Pro mocniny s komplexním základem $z=a+bi=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi )=r\cdot e^{i\phi }$, kde $a,b,\phi \in ℝ$ a $r\in {ℝ}_0^{+},$ Šablona:Nowrap

$z^n\equiv (a+bi{)}^n=(r\cdot e^{i\phi }{)}^n=r^n\cdot e^{in\phi }=r^n\cdot [\cos (n\phi )+i\sin (n\phi )].$

Argument $\phi =\mathrm{Arg}z$ má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla $\phi$ z intervalu $⟨0;2\pi )$ nebo $(-\pi ;\pi ⟩$. Komplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně mnohoznačná funkce a není na celé komplexní rovině holomorfní.

Pokud je navíc komplexním číslem i exponent $n$, pak je mocnina dána jako

$z^n=e^{n\ln z}=e^{n(i\phi +\ln r)}.$

Alternativní definice

Užitečná definice z oblasti teorie množin říká, že pro množiny $A,B$ je $A^B=\{f|f:B\to A\}$ čili množina všech zobrazení množiny $B$ do množiny $A$, tedy takových zobrazení, která každému prvku z $B$ přiřazují právě jeden prvek z $A$. Jsou-li obě množiny konečné, pak počet takových zobrazení je $\left|A^B\right|=|A{|}^{|B|}$, přičemž klademe 0⁰ = 1 (viz #Nula na nultou). Příklad:

$\{0,1{\}}^{\{a,b\}}=\{\{a\mapsto 0;b\mapsto 0\},\{a\mapsto 0;b\mapsto 1\},\{a\mapsto 1;b\mapsto 0\},\{a\mapsto 1;b\mapsto 1\}\}$

$|\{0,1{\}}^{\{a,b\}}|=|\{0,1\}{|}^{|\{a,b\}|}=2^2=4$

Mocninu $z^n$ s nezáporným celým základem i exponentem ($z,n\in {\mathbb{N}}_0$) lze také vyjádřit jako počet všech uspořádaných Šablona:Nowrap jejichž složky jsou ze Šablona:Nowrap množiny. Toto vyjádření je velmi podobné předchozí definici, protože zobrazení Šablona:Nowrap množiny lze zapsat jako uspořádanou Šablona:Nowrap Příklad:

$2^3=|\{0,1{\}}^3|=\left|\right\{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)\left\}\right|=8$

Vlastnosti

Pro reálná nebo komplexní čísla $a,b,x,y$ platí následující vztahy (jsou-li výrazy na obou stranách definované):

• ${\left(ab\right)}^x=a^x\cdot b^x$ za podmínky, že $x$ je celé číslo nebo $\mathrm{Arg}a+\mathrm{Arg}b\in (-\pi ;\pi ⟩$, tedy že se neprojeví skok argumentu
• ${\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x}$ za podmínky, že $x$ je celé číslo nebo $\mathrm{Arg}a-\mathrm{Arg}b\in (-\pi ;\pi ⟩$
• $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$
• $a^{-x}=\frac{1}{a^x},a\ne 0$
• $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},a\ne 0$
• ${\left(a^x\right)}^y=a^{x\cdot y}$ za podmínky, že $y$ je celé číslo nebo $\mathrm{Im}(x\ln a)\in (-\pi ;\pi ⟩$
• $a^0=1$ pro $a\ne 0$ (pro 0⁰ viz níže)

Umocňování není obecně komutativní (2Šablona:Sup ≠ 3Šablona:Sup) ani asociativní: (2Šablona:Sup)Šablona:Sup ≠ 2Šablona:Sup.

Mocniny nuly

Nula umocněná na kladné číslo je nula, tedy pro x > 0 je 0^x = 0.

Naproti tomu nula umocněná na záporné číslo není definována, protože takový výraz vede na dělení nulou, které není na množině reálných ani komplexních čísel definováno:

Pro Šablona:Mvar > 0 je $0^{-x}=\frac{1}{0^x}=\frac{1}{0}.$

Nula na nultou

Zcela obecně není výraz 0⁰ definován. Limita mocniny, jejíž základ i exponent konvergují k nule, je totiž tzv. neurčitý výraz a pro její vyčíslení je potřeba znát vztah mezi základem a exponentem. Na výraz 0⁰ se tedy lze dívat dvěma základními způsoby. První pohled na něj hledí jako na limitu funkce x⁰, která je všude kromě nuly rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 0⁰ = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0^x, která je pro všechna kladná x nulová, takže se i v nule dodefinuje 0⁰ = 0.

V běžných situacích se používá hlavně první definice (0⁰ = 1), která je vyžadována pro jednoduchý zápis mnoha vzorců:

• Aby při zápisu polynomu ve tvaru $p(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k$ platilo $p(0)=a_0$, musí být 0⁰ = 1. Podobný zápis se používá také pro mocninnou řadu.
• Obecná platnost binomické věty vyžaduje 0⁰ = 1.
• Existuje právě jedno zobrazení prázdné množiny do prázdné množiny, a to prázdné zobrazení (viz #Alternativní definice).
• Pravidlo pro derivování mocninné funkce $\frac{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{d}x}=n{x}^{n-1}$ platí pro Šablona:Mvar = 1 v bodě Šablona:Mvar = 0 jen tehdy, když 0Šablona:Sup = 1.

Jindy je 0⁰ ponecháno nedefinované, zcela výjimečně je možno se setkat i s použitím druhé definice (0⁰ = 0).Šablona:Fakt/dne

Zvláštní mocniny

V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové číselné soustavy, také v soustavě SI jsou předpony násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.

Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a²), tj. vynásobení čísla a sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako čtverec, protože obsah čtverce je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a²).

Počítače při zpracování dat používají dvojkovou soustavu, založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 2¹⁰ B = 1024 B. (Viz též binární předpony.)

V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerova čísla.

Související články

• Odmocnina
• Logaritmus
• Mocninná funkce
• Exponenciální funkce
• Geometrická řada
• Kořen (matematika)

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Wikislovník