Dělení nulou

Dělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako $\frac{a}{0}$, kde a je dělenec. V oborech reálných ani komplexních čísel nemá takové dělení smysl – nula je jediné číslo, kterým nelze dělit. V oboru komplexních čísel rozšířených o (komplexní) nekonečno je definováno pro všechny nenulové dělence jako $\mathrm{\infty }$.

Při dělení v plovoucí řádové čárce může být výsledkem speciální hodnota not a number (není číslo) nebo nekonečno.

Interpretace v elementární aritmetice

Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme deset kvádrů a rozdělíme je na skupiny po pěti, dostaneme dvě stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádrů v každé části a výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“.

Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“ nedává smysl, protože přičítáním částí o 0 prvcích se deset kusů nikdy nezíská.

Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.

Rané pokusy

Brahmaguptův spis Brāhmasphuṭa-siddhānta z roku 628 je první, který považoval nulu za normální číslo a definoval operace ji obsahující. Autorovi se ale nepodařilo vysvětlit dělení nulou, jeho definice vede k absurdním algebraickým závěrům. Brahmagupta píše:

Kladné nebo záporné číslo dělené nulou je zlomek se jmenovatelem nula. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s čitatelem nula a konečným množstvím jako jmenovatelem. Nula dělená nulou je nula.

Mahavira se v roce 830 neúspěšně pokusil opravit Brahmaguptovu chybu:

Číslo zůstává nezměněno, když je děleno nulou.

Bháskara II. se pokusil problém vyřešit definováním $\frac{n}{0}=\mathrm{\infty }$. Tato definice dává určitý smysl, ale může vést k paradoxům, pokud se s ní nezachází opatrně.

Např. $\frac{1}{0}=\frac{2}{0}$, což by při odstranění zlomků vycházelo $1=2$. To je nesmysl.

Algebraická interpretace

Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech přirozených čísel, celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel (nerozšířených o nekonečno) definováno.

Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, hodnota $\frac{a}{b}$ je takovým číslem, pro které platí rovnice $bx=a$. Například

$\frac{6}{3}=2$

vyjadřuje fakt, že číslo $2$ je tím číslem, které lze dosadit do výrazu

$?\cdot 3=6$.

Avšak v případě

$\frac{6}{0}=?$

neexistuje žádné číslo, kterým by bylo možno nahradit otazník ve výrazu

$?\cdot 0=6$,

neboť jakékoli číslo násobené nulou je nula, nikoli šest.

Algebraicky vyjádřeno: pokud $b=0$, lze rovnici $bx=a$ zapsat jako $0x=a$, tedy prostě $0=a$. V tomto případě tedy rovnice $bx=a$ nemá žádné řešení, pokud $a\ne b$, a má nekonečně mnoho řešení, pokud $a=0$. Ani v jednom případě tedy výraz $\frac{a}{b}$ nedává smysl a výsledek dělení nulou tak není definován.

Mylné závěry při dělení nulou

Pokud by bylo nějak definováno dělení nulou, mohlo by dojít k mnoha absurdním výsledkům. Příkladem je falešný důkaz, že $2=1$, např.:

1. Pro každé reálné číslo $x$ platí:

   $x^2-x^2=x^2-x^2$

2. Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby

   $(x-x)(x+x)=x(x-x)$

3. Vydělíme obě strany výrazem $(x-x)$ (zde je ve skutečnosti dělení nulou, protože $x-x=0$)

   $(1)(x+x)=x(1)$

4. Což je:

   $2x=x$

5. Protože $x$ může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme $x=1$.

   $2=1$

Chybou je v tomto případě předpoklad, že $(x-x)/(x-x)$ (tzn. 0/0) se rovná 1. K podobným nesmyslům vede jakákoliv jiná hodnota přiřazená jako výsledek 0/0.

Limity a dělení nulou

Funkce $y=\frac{1}{x}$ pro $x$ blížící se nule zprava jde k nekonečnu, zatímco pro $x$ blížící se nule zleva jde k minus nekonečnu

Na první pohled vypadá možné definovat $\frac{a}{0}$ jako limitu $\frac{a}{b}$ pro $b$ jdoucí k 0.

Pro každé kladné $a$ platí:

$\underset{b\to 0^{+}}{\lim }\frac{a}{b}=+\mathrm{\infty }$

Pro každé záporné $a$ platí:

$\underset{b\to 0^{+}}{\lim }\frac{a}{b}=-\mathrm{\infty }$

Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.

Zaprvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.

Zadruhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat $\frac{a}{0}$ jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:

$+\mathrm{\infty }=\frac{1}{0}=\frac{1}{-0}=-\frac{1}{0}=-\mathrm{\infty }$,

což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.

Dále neexistuje žádná zřejmá definice $\frac{0}{0}$, která by mohla být odvozena za použití limit. Limita

$\underset{(a,b)\to (0,0)}{\lim }\frac{a}{b}$

neexistuje. Limita

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$,

kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec. (Viz též L'Hospitalovo pravidlo.)

Dělení nulou v počítačích

Kalkulátor TI-86 signalizuje chybu dělení nulou

Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v plovoucí řádové čárce, podporovaný skoro všemi moderními procesory, specifikuje, že každá operace v plovoucí řádové čárce včetně dělení nulou má dobře definovaný výsledek. V IEEE 754 je a ÷ 0 kladné nekonečno, pokud je a kladné; záporné nekonečno, pokud je a záporné, a NaN (not a number), pokud a = 0. V IEEE 754 jsou dvě nuly: kladná a záporná; při dělení zápornou nulou jsou ve výsledku opačná znaménka oproti uvedeným výsledkům.

S celočíselným dělením nulou se obvykle zachází jinak, protože neexistuje celočíselná reprezentace takového výsledku. Některé procesory vygenerují výjimku při pokusu o dělení nulou, jiné prostě pokračují a vygenerují nesprávný výsledek dělení (často nulu nebo velké kladné či záporné číslo jako aproximaci nekonečna), případně jde o nedefinované chování.

Jiné číselné systémy

Komplexní čísla

Pro komplexní čísla lze zavést Reimannova sféra, která má pro nekonečno jediný bod, a tedy lze zde dělit nulou. $\mathrm{\forall }x\in {ℂ}^{*}\ne 0:\frac{0}{0}=\mathrm{\infty }$. Zůstanou pak nedefinované jen $\frac{0}{0}$ a $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

Související články

• NaN
• NULL
• lineární lomená funkce

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat