Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce je funkce, kterou lze zapsat ve tvaru $f(x):y=\frac{ax+b}{cx+d};a,b,c,d\in ℝ,c\ne 0$.

Vlastnosti

• Definičním oborem jsou všechna reálná čísla s jednou výjimkou $\frac{-d}{c}$ (tj. $D_f=R\setminus \left\{\frac{-d}{c}\right\}$).
• Grafem této funkce je (v nedegenerovaném případě) hyperbola se středem v bodě $[\frac{-d}{c};\frac{a}{c}]$.
• Asymptoty ($x=\frac{-d}{c}$ ; $y=\frac{a}{c}$) procházejí středem a jsou rovnoběžné s osami souřadnic.
• Jestliže by bylo $c=0$, již by se nejednalo o lineární lomenou funkci, ale lineární funkci $f:y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}.$

Vlastnosti funkce závisí na hodnotě výrazu $ad-bc$.

• Pro $ad-bc>0$ ($ad>bc$) se jedná o hyperbolu rostoucí na intervalech $(-\mathrm{\infty };\frac{-d}{c})$ a $(\frac{-d}{c};\mathrm{\infty }).$
• Pro $ad-bc=0$ ($ad=bc$) by se jednalo o přímku $f(x):y=\frac{a}{c}.$
• Pro $ad-bc<0$ ($ad<bc$) se jedná o hyperbolu klesající na intervalech $(-\mathrm{\infty };\frac{-d}{c})$ a $(\frac{-d}{c};\mathrm{\infty }).$

Derivace lomené funkce je

${\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{\text{'}}=\frac{a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d{)}^2}.$

Po roznásobení závorek a následném odečtení vznikne tvar

$\frac{ad-cb}{(cx+d{)}^2}.$

Související články

• Lineární funkce