Kořen (matematika)

Graf polynomiální funkce $f(x)=x^3+2x^2-7x+4$ se dvěma kořeny $-4$ a $1$.

Kořenem funkce $f$ se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru funkce $f$, v němž funkce $f$ nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnota $a$ splňující rovnici $f$($a$) = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkce $f$ podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce $f$ protíná komplexní rovinu resp. osu $x$ souřadnicového systému.

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně $n$ s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše $n$ různých komplexních kořenů. Je-li $a$ kořenem polynomu $P(x)$, pak $(x-a)$dělí $P(x)$ a tedy $\frac{P(x)}{(x-a)}$ je polynom stupně $n-1$.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně $n$ s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě $n$ kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynom $x^2+1$ nemá řešení v oboru reálných čísel.

Řešení: $x^2+1=0;$ $x^2=-1$; $x=\pm i$ .

Metody výpočtu

Přímý výpočet

Je-li lineární polynom ($P(x)=ax+b;$ kde $a\ne 0,b$ jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslo $x_0=-\frac{b}{a}$.

Pro kvadratický polynom ($P(x)=a{x}^2+bx+c$), existují obecně dva kořeny $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Příklad1: rovnice v součinném tvaru $(2x+1)(x-3)=0$

řešení:

$2x+1=0\Rightarrow x_1=-\frac{1}{2}$;

$x-3=0\Rightarrow x_2=3$

Pro výpočet kořenů kubického polynomu lze použít např. Cardanovy vzorce nebo Hornerovo schéma.

Příklad2: $x^3+3x^2+2x+6=0$ , hledané řešení: $x\in R$

$x^3+3x^2+2x+6=0=(x-a)(x^2+px+q)$ , kde $a$ je kořen a $p,q\in R$,

po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:

$x^3+3x^2+2x+6=0=x^3+(p-a)x^2+(q-ap)x-aq$

porovnáním koeficientů u stejné mocniny $x$ vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:

$3=p-a$

$2=q-ap$

$6=-aq$

Vyřešené hodnoty $a=-3;p=0;q=2$ lze dosadit do rovnice

$x^3+3x^2+2x+6=0=x^3+(p-a)x^2+(q-ap)x-aq=(x+3)(x^2+2)$

vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslo $x_1=-3$, kvadratická rovnice $x^2+2=0$ nemá v oboru $R$ řešení.

Aproximace

Šablona:Viz též Najdeme-li dva body $x_1$ a $x_2$, pro které platí $\mathrm{sgn}(P(x_1))=-\mathrm{sgn}(P(x_2))$, kde $\mathrm{sgn}$ značí znaménkovou funkci signum ($P(x_1)P(x_2)<0$), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu $(x_1,x_2)$, (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen.

Příklady

• Funkce $f(x)=e^x$ (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
• Funkce $f(x)=sin(x)$ (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů (je periodická) , a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Reference

Externí odkazy

Řešené příklady(německy) Šablona:Autoritní data