Binomická věta

Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k}

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

Příklady

Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}

(x - y)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

(x + y)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}

Na některých středních (základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané „vzorečky“ pro výpočet mnohočlenů.

Důkaz

Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:

(a + b)^{0} = 1 = \sum_{k = 0}^{0} (\binom{0}{k}) a^{0 - k} b^{k} .

Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro $n = m + 1$ :

(a + b)^{m + 1} = a (a + b)^{m} + b (a + b)^{m}

z indukčního předpokladu:

= a \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) a^{m - k} b^{k} + b \sum_{j = 0}^{m} (\binom{m}{j}) a^{m - j} b^{j}

násobení přes

a

a

b

:

= \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) a^{m - k + 1} b^{k} + \sum_{j = 0}^{m} (\binom{m}{j}) a^{m - j} b^{j + 1}

vyjmutí

k = 0

ze sumy:

= a^{m + 1} + \sum_{k = 1}^{m} (\binom{m}{k}) a^{m - k + 1} b^{k} + \sum_{j = 0}^{m} (\binom{m}{j}) a^{m - j} b^{j + 1}

substituce

j = k - 1

:

= a^{m + 1} + \sum_{k = 1}^{m} (\binom{m}{k}) a^{m - k + 1} b^{k} + \sum_{k = 1}^{m + 1} (\binom{m}{k - 1}) a^{m - k + 1} b^{k}

vyjmutí

k = m + 1

ze sumy:

= a^{m + 1} + \sum_{k = 1}^{m} (\binom{m}{k}) a^{m - k + 1} b^{k} + \sum_{k = 1}^{m} (\binom{m}{k - 1}) a^{m - k + 1} b^{k} + b^{m + 1}

složení dvou sum:

= a^{m + 1} + b^{m + 1} + \sum_{k = 1}^{m} [(\binom{m}{k}) + (\binom{m}{k - 1})] a^{m - k + 1} b^{k}

z Pascalova pravidla:

= a^{m + 1} + b^{m + 1} + \sum_{k = 1}^{m} (\binom{m + 1}{k}) a^{m - k + 1} b^{k}

přidání

m + 1

mocnin do výrazu:

= \sum_{k = 0}^{m + 1} (\binom{m + 1}{k}) a^{m - k + 1} b^{k}

.

Q.E.D.

Zobecnění binomické věty

Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:

$(1 + z)^{w} = (\binom{w}{0}) + (\binom{w}{1}) z + (\binom{w}{2}) z^{2} + (\binom{w}{3}) z^{3} + \dots$

Kde $w, z$ jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:

$(1 + z)^{w} = 1 + w z + \frac{w (w - 1)}{2} z^{2} + \frac{w (w - 1) (w - 2)}{6} z^{3} + \dots$

Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je $| z | < 1$ .

Speciálně pro $z = - x$ a $w = - 1$ dostáváme součet geometrické řady:

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} \dots$

Případně pokud je $z = - x^{2}$ a $w = - \frac{1}{2}$ , pak obdržíme tuto řadu:

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^{4} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^{6} + \dots$

Která po integraci přejde na řadu pro $\arcsin x$ :

$\arcsin x = x + \frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^{5}}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^{7}}{7} + \dots$

Speciálně např. když dosadíme $x = \frac{1}{2}$ , dostaneme docela dobře konvergující řadu pro $\frac{π}{6}$ . Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.

Obdobně, pokud bychom položili $z = x^{2}$ a $w = - 1$ , dostali bychom integrací této řady řadu pro $arctg x$ , která taktéž umožňuje vypočítat číslo $π$ .

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Šablona:Autoritní data Šablona:Portály

Binomická věta

Obsah

Příklady

Důkaz

Zobecnění binomické věty

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Binomická věta

Příklady

Důkaz

Zobecnění binomické věty

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Hledat