Binomické rozdělení

Tři příklady binomického rozdělení.

Distribuční funkce odpovídající příkladům nahoře.

Binomické rozdělení (někdy též Bernoulliho schéma) popisuje četnost výskytu náhodného jevu v $n$ nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost. Pokud speciálně $n=1$, jde o alternativní rozdělení.

V matematických textech se můžeme setkat s označením $X$ ~ $Bi(n,p)$ (někde také jako $B(n,p)$), kde $n$ udává počet pokusů a $p$ udává pravděpodobnost daného jevu.

Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina $X$ s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po $n$.

Pravděpodobnost, že jev nastane právě $x$-krát z $n$ pokusů při pravděpodobnosti jevu $p$, je určena rozdělením

$P[X=x]=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x},$

kde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})$ je kombinační číslo.

Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je

$\mathrm{E}(X)=np$

Rozptyl je

$\mathrm{D}(X)=np(1-p)$

Pro koeficient šikmosti dostáváme

${\gamma }_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu

${\gamma }_2=\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

$m(z)={[p{\mathrm{e}}^z+(1-p)]}^n$

Příklady

• Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?

$n=5,x=2,p=1/6$

$p_2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}){\left(\frac{1}{6}\right)}^2{(1-\frac{1}{6})}^{(5-2)}\approx 0,16=16\mathrm{\%}$

• Pro $n\to \mathrm{\infty }$ a malé pravděpodobnosti, tzn. $p\to 0$, přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo.
• Pro $p$ blízké $\frac{1}{2}$ lze binomické rozdělení již od $n$ v řádu několika desítek velmi dobře aproximovat normálním rozdělením.
• Platí dokonce, že Binomické rozdělení $Bi(n,p)$ lze aproximovat normálním rozdělením $N(\mu =np,{\sigma }^2=np(1-p))$ pro dostatečně velká $n$. Důkaz viz odkazy.

Odkazy

Související články

• Bernoulliho schéma
• Poissonovo rozdělení
• Multinomické rozdělení
• Binomická věta – podobný vzorec, ale pro n-tou mocninu dvou sčítanců

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Online kalkulátor Binomického rozdělení
• Důkaz konvergence binomického rozdělení k Normálnímu na stránkách wolframu