Bernoulliho schéma

Bernoulliho schéma se používá k výpočtu pravděpodobnosti při opakovaném pokusu. Provedeme sérii nezávislých náhodných pokusů, ve kterých nastává sledovaný výsledek, náhodný jev $A$, s pravděpodobností $P(A)=p$, $0<p<1$. Pravděpodobnost $P_n(k)$ toho, že se v sérii vyskytne náhodný jev $A$ právě k-krát, $k=0,1,2,...,n$ se rovná

$P_n(k)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ , $0\le k\le n$

Příklady

Příklad č. 1: Házíme desetkrát hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že právě čtyřikrát padne číslo 6?

Protože jde o sérii nezávislých jevů (daný hod nezávisí od předcházejícího), můžeme použít Bernoulliho schéma. Pravděpodobnost příznivého jevu je $\frac{1}{6}$ a pravděpodobnost nepříznivého jevu je $\frac{5}{6}$. (Protože mohou padnout čísla 1,2,3,4 nebo 5.)

$P(A)=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^4{\left(\frac{5}{6}\right)}^6=210\cdot \frac{1}{6^4}\cdot \frac{5^6}{6^6}=\frac{210\cdot 5^6}{6^{10}}\doteq 0,05$

Tedy pravděpodobnost, že z 10 hodů hrací kostkou padne právě čtyřikrát číslo 6 je přibližně 5 %.

Příklad č. 2: Házíme hrací kostkou desetkrát. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň čtyřikrát padne číslo 6? V tomto případě se vlastně ptáme, jaká je pravděpodobnost, že číslo 6 padne čtyřikrát, nebo pětkrát, nebo šestkrát, nebo sedmkrát, nebo osmkrát, nebo devětkrát, nebo desetkrát.

$P(A)=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^4{\left(\frac{5}{6}\right)}^6+\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^5{\left(\frac{5}{6}\right)}^5+\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^6{\left(\frac{5}{6}\right)}^4+\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^7{\left(\frac{5}{6}\right)}^3+\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^8{\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^9\left(\frac{5}{6}\right)+\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^{10}\doteq 0,07$

Pravděpodobnost, že z 10 hodů hrací kostkou padne alespoň čtyřikrát číslo 6 je přibližně 7 %.

Příklad č. 3: Házíme hrací kostkou třikrát. Jaká je pravděpodobnost, že právě jednou padne číslo 3?

$P(A)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^1{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{25}{72}\doteq 0,347$

Pravděpodobnost, že z 3 hodů hrací kostkou padne právě jednou číslo 3 je přibližně 34,7 %.

Příklad č. 4: Střelec zasáhne cíl s pravděpodobností $0,7$ přičemž vystřelil 10krát. Jaká je pravděpodobnost, že zasáhl cíl právě čtyřikrát?

$P(A)=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)(0,7{)}^4(0,3{)}^6=0,036$

Pravděpodobnost, že z 10 výstřelů zasáhne právě čtyřikrát cíl je přibližně 3,6 %.

Příklad č. 5: Při testu v autoškole je 30 otázek z kterých v každé z nich jsou na výběr 3 odpovědi, přičemž správná je vždy jen jedna. Uchazeč o řidičský průkaz uspěje, pokud označí správně alespoň 27 otázek. Je takovéto testování spolehlivé?

Alespoň 27 znamená 27 nebo 28 nebo 29 nebo 30.

$P(A)=\left(\begin{array}{c}30\\ 3\end{array}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^{27}+\left(\begin{array}{c}30\\ 2\end{array}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^{28}+\left(\begin{array}{c}30\\ 1\end{array}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^1{\left(\frac{1}{3}\right)}^{29}+\left(\begin{array}{c}30\\ 0\end{array}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^0{\left(\frac{1}{3}\right)}^{30}\doteq 0$

Pokud by uchazeč přišel na test nepřipravený a náhodně by vybíral otázky, pravděpodobnost, že si tipne alespoň 27 otázek správně, je prakticky nulová, tedy test je spolehlivý.

Odkazy

Související články

• Binomické rozdělení
• Problém náhrdelníku
• Problém šatnářky