Tetrace

Graf funkce $x\uparrow \uparrow n$

Tetrace je matematická operace, která je jakýmsi rozšířením umocňování. Zatímco násobení je vlastně opakované sčítání a umocňování opakované násobení, tetrace je opakované umocňování. Opakovaná tetrace se nazývá pentace.

Označování

Tetrace se může zapsat dvěma způsoby, kterými jsou horní index vlevo, např. ³2 = 2²², nebo Knuthův zápis pomocí operátoru „dvou šipek“ ↑↑. Obecně se tetrace zapisuje takto:

$a\uparrow \uparrow b={}^{b}a=\underset{b\text{ opakování }a}{\underbrace{a^{a^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^a}}}}}}}=\underset{b\text{ opakování }a}{\underbrace{a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))}}.$

Příklady

Hodnota tetrace je „velmi rychle rostoucí“:

$4\uparrow \uparrow 3={}^{3}4=\underset{3\text{ opakování }4}{\underbrace{4^{4^4}}}=\underset{3\text{ opakování }4}{\underbrace{4\uparrow (4\uparrow 4)}}=4^{256}\approx 1,3\times 10^{154}$

$3\uparrow \uparrow 2=3^3=27$

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$

$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}$

$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^3}}}=3^{3^{7625597484987}}$

Rozšíření

Šablona:Podrobně Podobně jako z umocňování vzniká tetrace, vzniká také z tetrace pentace:

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underset{b\text{ opakování }a}{\underbrace{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^a\cdot }\cdot }\cdot }a}a}}=\underset{b\text{ opakování }a}{\underbrace{a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))}}.$

Příklady:

$\begin{array}{cc}3\uparrow \uparrow \uparrow 2& =3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=\\ & =3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987\\ \end{array}$

Velikost čísel opravdu velmi rychle roste:

$\begin{array}{cc}3\uparrow \uparrow \uparrow 3& =3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7625597484987}3=\\ & =3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underset{3\uparrow (3\uparrow 3)=7625597484987\text{ opakování }3}{\underbrace{3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))}}=\underset{3\uparrow (3\uparrow 3)\text{ opakování }3}{\underbrace{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}}\approx {\exp }_{10}^{7625597484986}(1,09902)\end{array}$

Následující číslo by mělo v klasickém zápisu více než 10¹⁰²¹⁸⁴ číslic:

$5\uparrow \uparrow \uparrow 2=5\uparrow \uparrow 5={}^{5}5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx 10^{10^{10^{10^{3,33928}}}}={\exp }_{10}^4(3,33928)$.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat