Pentace

Pentace (nebo také hyper-5) je matematická operace, která je jakýmsi rozšířením tetrace. Zatímco mocnění je vlastně opakované násobení a tetrace opakované mocnění, pentace je opakovaná tetrace. Opakovaná pentace je poté hexace. Pentace je tedy definována jako iterovaná neboli opakovaná tetrace, stejně jako je tetrace opakované umocňování. Jedná se o binární operaci definovanou dvěma čísly a a b, kde a je b − 1 krát tetrováno sebou samým. Například při použití hyperoperačního zápisu pro pentaci a tetraci $2[5]3$ znamená tetrování 2 dvakrát, neboli $2[4](2[4]2)$. To lze poté redukovat na $2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536.$

Pentace může být zapisována například pomocí knuthova šipkového zápisu.

Znázornění

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underset{b\text{ opakování }a}{\underbrace{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^a\cdot }\cdot }\cdot }a}a}}=\underset{b\text{ opakování }a}{\underbrace{a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))}}.$

Příklady

$\begin{array}{cc}3\uparrow \uparrow \uparrow 2& =3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=\\ & =3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987\\ \end{array}$

Velikost čísel opravdu velmi rychle roste:

$\begin{array}{cc}3\uparrow \uparrow \uparrow 3& =3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7625597484987}3=\\ & =3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underset{3\uparrow (3\uparrow 3)=7625597484987\text{ opakování }3}{\underbrace{3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))}}=\underset{3\uparrow (3\uparrow 3)\text{ opakování }3}{\underbrace{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}}\approx {\exp }_{10}^{7625597484986}(1,09902)\end{array}$

Následující číslo by mělo v klasickém zápisu více než 10¹⁰²¹⁸⁴ číslic:

$5\uparrow \uparrow \uparrow 2=5\uparrow \uparrow 5={}^{5}5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx 10^{10^{10^{10^{3,33928}}}}={\exp }_{10}^4(3,33928)$.