Hexace

Hexace (nebo také hyper-6 či sextace) je aritmetická a matematická operace, která je rozšířením pentace. Je to šestý hyperoperátor, počínající od sčítání. Zatímco tetrace je opakované umocňování a pentace opakované tetrování, hexace je opakované pentování. Opakovaná hexace se nazývá heptace. Jde též o binární operaci. Pojem "hexace" vytvořil Reuben Goodstein ze slov hexa (šestý hyperoperátor) a interace. Kvůli nekomutativnosti má dvě inverzní funkce, a to hexaodmocnina a hexalogaritmus.

Definice

Hexace je definována jako iterovaná pentace. Zapisuje se pomocí knuthova šipkova zápisu, nebo ve tvaru $a\stackrel{}{^}\stackrel{}{^}\stackrel{}{^}\stackrel{}{^}b$. Čte se "a hexace b".

Zápis vzorce: $a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=a{\uparrow }^{4}b=\underset{b\text{ opakování }a}{\underbrace{a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))}}.$

V případě druhé hexace můžeme použít vzorec:

$a{\uparrow }^{4}2=a{\uparrow }^{3}a=\underset{a\text{ opakování }a}{\underbrace{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^a\cdot }\cdot }\cdot }a}a}a}}$.

Příklady výpočtu

I hexace malých čísel vede na nesmírně velká čísla. Rychlost růstu této funkce je $f_5(n)$ v rychle rostoucí hierarchii.

• $1{\uparrow }^{4}1=1$

• $1{\uparrow }^{4}a=1$

• $a{\uparrow }^{4}1=a$

• $a{\uparrow }^{4}0=1$

• $\underset{\text{ hexace }}{\underbrace{2{\uparrow }^{4}2}}=\underset{\text{ pentace }}{\underbrace{2{\uparrow }^{3}2}}=\underset{\text{ tetrace }}{\underbrace{{}^{2}2}}=\underset{\text{ umocňování }}{\underbrace{2^2}}=\underset{\text{ násobení }}{\underbrace{2\cdot 2}}=\underset{\text{ sčítání }}{\underbrace{2+2}}=\underset{\text{ přidávání }}{\underbrace{2+1+1}}=4$

• $2{\uparrow }^{4}3=2{\uparrow }^3(2{\uparrow }^{3}2)=2{\uparrow }^{3}4=\underset{4\text{ opakování }2}{\underbrace{2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))}}={}^{{}^{{}^{2}2}2}2={}^{{}^{4}2}2={}^{65536}2=\underset{2\uparrow (2\uparrow 2)=65536\text{ opakování }2}{\underbrace{2\uparrow (2\uparrow (\dots \uparrow 2))}}=\underset{65536\text{ opakování }2}{\underbrace{2^{2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}}}}$

$\begin{array}{cc}3{\uparrow }^{4}2& =3{\uparrow }^{3}3=3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7625597484987}3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underset{3\uparrow (3\uparrow 3)=7625597484987\text{ opakování }3}{\underbrace{3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))}}=\\ & =\underset{3\uparrow (3\uparrow 3)\text{ opakování }3}{\underbrace{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}}=titri\approx {\exp }_{10}^{7625597484986}(1,09902)\end{array}$

$$\mathrm{4}{\uparrow }^{4}2=4{\uparrow }^{3}4=4\uparrow \uparrow \uparrow 4=\underset{4\text{ opakování }4}{\underbrace{4\uparrow \uparrow (4\uparrow \uparrow (4\uparrow \uparrow 4))}}={}^{{}^{{}^{4}4}4}4={}^{{}^{4^{4^{4^4}}}4}4={}^{{}^{4^{4^{256}}}4}4={}^{{}^{4^{(1.34078\cdot 10^{154})}}4}4={}^{{}^{{\exp }_{10}^3(2.18726)}4}4=\underset{\text{ tetrace }}{\underbrace{{}_{{\exp }_{10}^3(2.18726);(3.6\cdot 10^{12})\text{ krát }4}^{\underbrace{\left(4^{4^{4^{4^{4^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^4}}}}}}}\right)}}4}}$$

Využití

Hexace je jen velmi málo využitá v reálném světě a dokonce i v matematice. Je to proto, že hexace i poměrně malých čísel vede na čísla neskutečných velikostí, která nejsou prakticky použitelná a nedají se uplatnit nebo využít (např. $4{\uparrow }^{4}2$, atd.). Kdyby se měla zapsat v běžném nebo dokonce mocninovém zápisu, čísla by zasahovala k sousedním galaxiím. Proto jde o vzácnou matematickou funkci.

Výpočet Grahamova čísla

Našlo by se uplatnění pro hexativní výpočet $3{\uparrow }^{4}3=3{\uparrow }^{3}titri=G_1$, který se používá jako první hodnota Grahamovy funkce (g₁). Číslo tohoto výpočtu je grahal. K výpočtu Grahamova čísla je potřeba hyperoperátor o 64. hodnotě Grahamovy funkce.

Ukázka 1. až 3. Grahamovy funkce:

• $G_1=3{\uparrow }^{4}3$ (1. funkce)
• $G_2=3{\uparrow }^{G_1}3=3{\uparrow }^{3{\uparrow }^{4}3}3$ (2. funkce)
• $G_3=3{\uparrow }^{G_2}3=3{\uparrow }^{3{\uparrow }^{3{\uparrow }^{4}3}3}3$ (3. funkce)

Podle tohoto způsobu by též šlo definovat $G_n=3{\uparrow }^{G_{n-1}}3$, kde $G_1$ představuje hexativní výpočet $3{\uparrow }^{4}3$.

Dle předešlých definicí se Grahamovo číslo rovná výpočtu $G_{64}=3{\uparrow }^{G_{63}}3$.

Také si všimněme, že zápis výpočtu $3{\uparrow }^{4}3$ (hexace) lze také zapsat také pomocí heptace takto $3{\uparrow }^{5}2$. Lze to proto, že v příkladě 3 hexace 3 máme stejný základ a stejně krát hexaci. A to můžeme právě promítnout do vyššího hyperoperátora - heptaci. Proto by například šlo $\underset{\text{ hexace }}{\underbrace{3{\uparrow }^4(3{\uparrow }^{4}3)}}=\underset{\text{ heptace }}{\underbrace{3{\uparrow }^{5}3}}=\underset{\text{ oktace }}{\underbrace{3{\uparrow }^{6}2}}$.

Odkazy

Související články

• Knuthův zápis
• Grahamovo číslo
• Velká čísla