Odmocnina

Graf kvadratické funkce (červeně) a k ní inverzní funkce druhá odmocnina (modře)

Odmocňování v matematice je částečně inverzní operací k umocňování, odmocnina je výsledkem této operace. Částečně proto, že definiční obory těchto dvou operací nejsou obecně vždy shodné. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů (čísel, matic, funkcí…), pak n-tá odmocnina z objektu a, označovaná jako

$\sqrt[n]{a}$

, je definována jako objekt b, pro který platí

$b^n=a$

. Číslo n se přitom nazývá odmocnitel a číslo a odmocněnec. Speciálním případem je druhá odmocnina, která se často označuje jen jako odmocnina a značí

$\sqrt{a}.$

Odmocnina nemusí vždy v daném číselném oboru existovat (neexistují např. druhé odmocniny záporných čísel v oboru reálných čísel), anebo může naopak existovat více různých odmocnin.

Odmocnina z reálného čísla

V oboru reálných čísel je n-tá odmocnina z reálného čísla definována následovně:

Pro libovolné n ∈ ℕ, n ≠ 0 definujeme n-tou odmocninu z nezáporného reálného čísla a jako nezáporné reálné číslo b, pro které platí $b^n=a$. Z definice přímo plyne, že existuje-li takové číslo b, je jednoznačně dáno a odmocnina je tudíž funkcí. Značíme $b=\sqrt[n]{a}$.

Pro n = 2 definice druhé odmocniny z reálného čísla zní takto:

Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla a je nezáporné reálné číslo b, pro které platí, že $b\cdot b=a$. Značíme $b=\sqrt{a}$.

Přestože platí například $2\cdot 2=4$ a současně také $(-2)\cdot (-2)=4$, druhá odmocnina z čísla 4 je podle definice vždy nezáporné číslo, proto $\sqrt{4}=2$.

Je nutné rozlišovat mezi hodnotou odmocniny a kořeny řešení rovnice, například $x^2-4=0$. V oboru reálných čísel má tato rovnice dvě různá řešení, dva různé kořeny: $x_1=2$ a $x_2=-2$.

Pro obecné reálné číslo r ∈ ℝ, r ≠ 0 můžeme r-tou odmocninu pro a>0 definovat pomocí exponenciální funkce vztahem $\sqrt[r]{a}=e^{\frac{1}{r}\ln (a)}$.

Odmocnina z nezáporného čísla

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, tedy včetně nuly, m, n jsou přirozená čísla a k je číslo celé, pak pro n odmocninu platí tyto vzorce:

$\sqrt[n]{0}=0$

$\sqrt[n]{1}=1$

$\sqrt[1]{a}=a$

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}a\ge 0,b\ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

$(\sqrt[m]{a})\sqrt[n]{a}=\sqrt[mn]{a^{(m+n)}}$

$\sqrt[n]{a^k}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^k={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^k=a^{\frac{k}{n}}a>0$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\sqrt[n]{a}=\frac{1}{n}{a}^{\frac{1-n}{n}}$

$\int \sqrt[n]{a}\mathrm{d}a=\frac{n}{1+n}{a}^{\frac{1+n}{n}}+C$

Odmocnina ze záporného čísla

Pokud a je nezáporné číslo, m je přirozené číslo nebo nula a n je ve tvaru $n=2m+1$ (tedy je to liché číslo), pak platí:

$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$

Početní operace s mocninami a odmocninami reálného čísla

N odmocninu z nezáporného čísla a můžeme upravit na mocninu tohoto čísla takto:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Pak lze s těmito mocninami počítat stejně, jako s mocninou $a^n$. A platí tyto vztahy:

$a^m{a}^n=a^{m+n}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}b>0$

$(a^m{)}^n=a^{mn}$

Příklady použití:

$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4}=a^{\frac{5}{3}}{a}^{\frac{4}{5}}=a^{\frac{25+12}{15}}=a^{\frac{37}{15}}$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}}=a^{\frac{1}{2}}{a}^{\frac{-1}{4}}=a^{\frac{2-1}{4}}=a^{\frac{1}{4}}$

Odmocnina z komplexního čísla

Komplexním číslům chybí lineární uspořádání, které u reálných čísel využíváme k zvolení pouze nezáporného kořenu odpovídající rovnice. Odmocnina pro komplexní čísla tedy není jednoznačně určena, respektive není funkcí, pokud nezafixujeme dodatečný parametr $k\in \mathbb{Z}$.

Pro výpočet n-té odmocniny je vhodné vyjádřit odmocňované komplexní číslo z v goniometrickém tvaru jako $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, případně v exponenciálním tvaru jako $z=|z|e^{i\varphi }$.

Potom hledaná odmocnina je

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}{e}^{i(\varphi +2k\pi )/n}=\sqrt[n]{|z|}(\cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi }{n})$,

kde k je libovolné celé číslo.

Různých n-tých odmocnin z libovolného nenulového čísla je v komplexním oboru právě n. Druhé odmocniny z komplexních čísel jejichž reálná část je kladná a imaginární část je nulová, jsou v komplexním oboru vždy dvě komplexní čísla jejichž reálné části jsou opačná reálná čísla a imaginární části jsou nulové. Druhé odmocniny z komplexních čísel se zápornou reálnou částí a imaginární částí nulovou jsou vždy dvě ryze imaginární čísla, jež se liší znaménkem, např. komplexní druhé odmocniny čísla -1 jsou imaginární jednotka i a číslo -i.

Symbol pro odmocninu

Vysvětlení původu znaku pro odmocninu ($\sqrt{}$) je do značné míry spekulativní. Někteří historici matematiky se domnívají, že symbol poprvé použili Arabové. První známé použití je totiž u Abú al-Hasan Alí ibn Muhammad al-Qalasádího (1421–1486) a domněnkou je, že byl tento znak převzat z arabského písmene ج, což je první písmeno ve slově džidhr, které v arabštině znamená kořen (např. kořen řešení kvadratické rovnice)

Ale mnozí, včetně matematika Leonharda Eulera, se domnívají, že znak pochází z písmene r, prvního písmene latinského slova radix, které také znamená kořen.

Symbol byl poprvé použit v tisku (bez horní vodorovné čáry nad odmocňovanými čísly) v roce 1525 v díle Die Coss od německého matematika Christoffera Rudolffa.

Související články

• Druhá odmocnina
• Mocnina
• Babylónská metoda - iterační algoritmus pro výpočet odmocniny

Externí odkazy

• Šablona:Wikislovník