Babylónská metoda

Babylónská metoda výpočtu druhé odmocniny (též Hérónova metoda) je iterační postup, při kterém se odhad hodnoty odmocniny postupně upřesňuje výpočtem aritmetického průměru odhadu a podílu odmocňovaného čísla a odhadu.

Postup výpočtu

Pro výpočet $\sqrt{a}$ se opakovaně počítá:

$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}$

Jako počáteční odhad $x_0$ lze použít $\frac{a}{2}$ (pro hledání kladného kořene), $-\frac{a}{2}$ (pro hledání záporného kořene) a nebo vhodné jiné číslo, které má poloviční počet číslic než $a$.

Babylónská metoda vede ke stejnému výpočtu jako numerické řešení rovnice $x^2-a=0$ Newtonovou metodou (metoda tečen).

Příklad

$a$	0,01	1	2	100
$x_0=a/2$	0,005	0,5	1	50
$x_1=\frac{x_0+\frac{a}{x_0}}{2}$	1,002500000000	1,250000000000	1,500000000000	26,000000000000
$x_2=\frac{x_1+\frac{a}{x_1}}{2}$	0,506237531172	1,025000000000	1,416666666667	14,923076923077
$x_3=\frac{x_2+\frac{a}{x_2}}{2}$	0,262995552059	1,000304878049	1,414215686275	10,812053925456
$x_4=\frac{x_3+\frac{a}{x_3}}{2}$	0,150509504406	1,000000046461	1,414213562375	10,030495203890
$x_5=\frac{x_4+\frac{a}{x_4}}{2}$	0,108475245618	1,000000000000	1,414213562373	10,000046356508
$x_6=\frac{x_5+\frac{a}{x_5}}{2}$	0,100331088387	1,000000000000	1,414213562373	10,000000000107
$x_7=\frac{x_6+\frac{a}{x_6}}{2}$	0,100000546289	1,000000000000	1,414213562373	10,000000000000
$x_8=\frac{x_7+\frac{a}{x_7}}{2}$	0,100000000001	1,000000000000	1,414213562373	10,000000000000
$x_9=\frac{x_8+\frac{a}{x_8}}{2}$	0,100000000000	1,000000000000	1,414213562373	10,000000000000