Moivreova věta

Moivreova (čti [mwavʁova] IPA) věta říká, že pro libovolné komplexní číslo (a speciálně tedy i reálné číslo) x a libovolné celé číslo n platí:

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx).$

kde i je imaginární jednotka.

Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.

Výraz $\cos x+i\sin x$ se někdy zkracuje na $\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{s}x$.

Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).

Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zⁿ = 1.

Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.

Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce e^ix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.

Užití věty

Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.

Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru

$z=A(\cos x+i\sin x),$

pak všech jeho $n$ odmocnin $n$-tého stupně lze zapsat jako

$z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x){)}^{1/n}=\{A^{1/n}(\cos \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{x+2k\pi }{n}\right)):0\le k\le n-1\}$

Důkaz

Uvažujme tři případy:

Pro n > 0 použijeme indukci. Pro n = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n₀ + 1

$(\cos x+i\sin x{)}^{n_0+1}$

$=(\cos x+i\sin x{)}^{n_0}(\cos x+i\sin x)$

$=(\cos (n_{0}x)+i\sin (n_{0}x))(\cos x+i\sin x)$ (z indukčního předpokladu)

$=\cos (n_{0}x)\cos x-\sin (n_{0}x)\sin x+i(\cos (n_{0}x)\sin x+\sin (n_{0}x)\cos x)$

Zde použijeme goniometrické součtové vzorce: sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y).

$=\cos ((n_0+1)x)+i\sin ((n_0+1)x)$

Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n₀ + 1, jestliže platí pro n₀, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.

Pro n = 0 rovnost platí, protože $\cos (0x)+i\sin (0x)=1+i\cdot 0=1$ a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.

Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom

$(\cos x+i\sin x{)}^n=(\cos x+i\sin x{)}^{-m}$

$=\frac{1}{(\cos x+i\sin x{)}^m}=\frac{1}{(\cos (mx)+i\sin (mx))}$ (shora)

$=\cos (mx)-i\sin (mx)$

$=\cos (-mx)+i\sin (-mx)=\cos (nx)+i\sin (nx).$

Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Q.E.D.

Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jednou z (více) možných úprav výrazu (cos z + i⋅sin z)^w.

Související články

• Komplexní číslo
• Komplexní rovina
• Goniometrické funkce
• Eulerův vzorec