Spektrální rozklad

V lineární algebře se spektrálním rozkladem čtvercové komplexní matice rozumí její kanonický tvar zapsaný pomocí matic sestavených z jejích vlastních čísel a vlastních vektorů.

Matice, které mají spektrální rozklad, se nazývají normální.

Spektrální rozklad patří mezi základní charakteristiky matice a využívá se v oblastech, jako jsou kvantová mechanika, zpracování signálu a numerická analýza.

Definice

Vlastní rozklad čtvercové matice $𝑨$ nad libovolným tělesem $T$ je její zápis jako součin tří matic ${𝑸\mathrm{\Lambda }𝑸}^{-1}$, kde $𝑸$ je regulární matice, jejíž sloupce tvoří vlastní vektory $𝑨$, diagonální matice $\mathrm{\Lambda }$ s vlastními čísly matice $𝑨$ na diagonále a matice inverzní k matici $𝑸$. Matice mající vlastní rozklad se nazývá diagonalizovatelná, protože je dle této definice podobná diagonální matici.

Spektrální rozklad je vlastním rozkladem komplexní matice, kde je matice $𝑸$ sestavena z ortonormální báze vlastních vektorů, čili je unitární.

V české literatuře bývá termín spektrální rozklad někdy používán i pro vlastní rozklad.

Název je odvozen z termínu pro množinu vlastních čísel tzv. spektra matice.

Ukázky

Rozklad reálné matice:

$\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)}^{-1}$

je vlastním rozkladem. Vlastní vektory nejsou na sebe navzájem kolmé, proto uvedená matice nemá spektrální rozklad a není normální.

Oproti tomu rozklad reálné matice:

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)}^{-1}$

je spektrálním rozkladem, protože vlastní vektory tvoří ortonormální bázi. (Zde dokonce platí ${𝑸}^{-1}=𝑸$.)

Ukázkou spektrálního rozkladu komplexní (zde hermitovské) matice, je součin:

$\left(\begin{array}{ccc}2& \frac{2(1+i)}{3}& \frac{-1-i}{3}\\ \frac{2(1-i)}{3}& \frac{2}{3}& \frac{2i}{3}\\ \frac{-1+i}{3}& -\frac{2i}{3}& \frac{7}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{-3+i}{3\sqrt{3}}& \frac{-1-2i}{3\sqrt{3}}\\ \frac{1}{3}& \frac{2i}{3\sqrt{3}}& \frac{4+2i}{3\sqrt{3}}\\ \frac{2}{3}& \frac{3-2i}{3\sqrt{3}}& \frac{-1+i}{3\sqrt{3}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{-3+i}{3\sqrt{3}}& \frac{-1-2i}{3\sqrt{3}}\\ \frac{1}{3}& \frac{2i}{3\sqrt{3}}& \frac{4+2i}{3\sqrt{3}}\\ \frac{2}{3}& \frac{3-2i}{3\sqrt{3}}& \frac{-1+i}{3\sqrt{3}}\end{array}\right)}^{-1}$

Matice $\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$ není diagonalizovatelná, a proto nemá žádný vlastní ani spektrální rozklad.

Existence

Vlastní rozklad

Vlastní čísla $\lambda$ a vlastní vektory $𝒙$ čtvercové matice $𝑨$ řádu $n$ jsou řešením lineární rovnice $𝑨𝒙=\lambda 𝒙$. Pokud má tato soustava $n$ lineárně nezávislých řešení ${𝒙}_1,\dots ,{𝒙}_n$ odpovídajících ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, lze z vlastních vektorů ${𝒙}_1,\dots ,{𝒙}_n$ sestavit regulární matici $𝑸$ a vlastní čísla umístit na diagonálu diagonální matice $\mathrm{\Lambda }$. Pro takto sestavené matice pak platí $𝑨𝑸=𝑸\mathrm{\Lambda }$, protože $i$-tý sloupec v uvedeném součinu odpovídá rovnici ${𝑨𝒙}_i={\lambda }_i{𝒙}_i$.

Matice $𝑸$ je regulární, a proto rovnost $𝑨𝑸=𝑸\mathrm{\Lambda }$ lze upravit na ekvivalentní vztah $𝑨={𝑸\mathrm{\Lambda }𝑸}^{-1}$ vynásobením ${𝑸}^{-1}$ zprava.

Rovnici $𝑨𝒙=\lambda 𝒙$ lze převedením obou členů na levou stranu a vytknutím $𝒙$ upravit na ekvivalentní rovnici $(𝑨-\lambda 𝐈)𝒙=0$, kde $𝐈$ značí jednotkovou matici. Tato rovnice odpovídá homogenní soustavě lineárních rovnic. Homogenní soustavy mají netriviální řešení právě když matice soustavy je singulární, čili když má nulový determinant. Determinant matice $𝑨-t𝐈$ je polynom stupně $n$ v proměnné $t$ a nazývá se charakteristický polynom matice $𝑨$ a značí se $p_{𝑨}(t)$. Z uvedeného vyplývá, že $\lambda$ je vlastním číslem matice $𝑨$, právě když je kořenem jejího charakteristického polynomu, čili když dosazení $\lambda$ za $t$ dává $p_{𝑨}(\lambda )=0$.

Matici $\mathrm{\Lambda }$ lze sestavit z vlastních čísel, právě když lze charakteristický polynom rozložit na součin lineárních polynomů $p_{𝑨}(t)=\prod _{i=1}^n({\lambda }_i-t)$. Násobnost ${\lambda }_i$ coby kořene charakteristického polynomu se nazývá algebraická násobnost vlastního čísla a odpovídá počtu výskytů ${\lambda }_i$ na diagonále matice $\mathrm{\Lambda }$.

Sloupce matice $𝑸$ odpovídající ${\lambda }_i$ jsou bází prostoru řešení homogenní soustavy $(𝑨-{\lambda }_i𝐈)𝒙=0$. Dimenze prostoru řešení se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla ${\lambda }_i$. Lze ukázat, že geometrická násobnost vlastního čísla nikdy nepřesáhne jeho algebraickou násobnost. Aby bylo možné sestavit vlastní rozklad s regulární maticí $𝑸$ je proto nutné a postačující, aby se geometrická a algebraická násobnost každého vlastního čísla shodovaly.

Spektrální rozklad

Existence spektrálního rozkladu pro normální matice, tj. matice které v součinu komutují se svou hermitovsky sdruženou maticí, čili splňují ${𝑨}^{\mathrm{H}}𝑨=𝑨{𝑨}^{\mathrm{H}}$, vyplývá přímo ze Schurovy věty.

Užití

Inverzní matice

Pokud lze matici $𝑨$ rozložit $𝑨={𝑸\mathrm{\Lambda }𝑸}^{-1}$ a přitom má všechna vlastní čísla nenulová, pak $𝑨$ je regulární a matice k ní inverzní je dána vztahem ${𝑨}^{-1}=𝑸{\mathrm{\Lambda }}^{-1}{𝑸}^{-1}$.

Inverzní matice k diagonální $\mathrm{\Lambda }$ je dána přímo vztahem: ${\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}_{ii}=\frac{1}{{\lambda }_i}$.

Vlastní rozklad matice z naměřených dat nemusí bez dalších úprav poskytovat použitelnou inverzní matici. Zejména relativně malá vlastní čísla podstatně ovlivňují hodnoty v inverzní matici. Ty, která jsou blízko nuly nebo jsou ovlivněna "šumem" měřicího systému, mohou mít nepřiměřený vliv a mohly by zneplatnit využití spočtené inverzní matice.

Funkční kalkulus

Vlastní rozklad umožňuje snadný výpočet mocninných řad matic. Pro mocninnou řadu:

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$

je hodnota $f(𝑨)$ matice s vlastním rozkladem $𝑨={𝑸\mathrm{\Lambda }𝑸}^{-1}$ dána výrazem:

$f(𝑨)=𝑸f(\mathrm{\Lambda }){𝑸}^{-1}$.

Matice $\mathrm{\Lambda }$ je diagonální, a tak lze funkce matice $\mathrm{\Lambda }$ snadno spočítat pomocí vztahu: ${\left[f\left(\mathrm{\Lambda }\right)\right]}_{ii}=f\left({\lambda }_i\right)$. Prvky mimo diagonálu matice $f(\mathrm{\Lambda })$ jsou nulové, a tudíž $f(\mathrm{\Lambda })$ je také diagonální matice. Výpočet $f(𝑨)$ podstatně redukuje na výpočet hodnoty mocninné řady na každém z vlastních čísel a dva maticové součiny.

Podobná technika funguje obecněji pro holomorfní funkční kalkulus za použití již zmíněného vztahu ${𝑨}^{-1}=𝑸{\mathrm{\Lambda }}^{-1}{𝑸}^{-1}$. I v tomto případě platí ${[f(\mathrm{\Lambda })]}_{ii}=f\left({\lambda }_i\right)$.

Ukázky

Pro funkce $f(x)=x^2$, $f(x)=x^n$ a $f(x)=\exp x$, resp., dostáváme vyjádření:

${𝑨}^2=(𝑸\mathrm{\Lambda }{𝑸}^{-1})(𝑸\mathrm{\Lambda }{𝑸}^{-1})=𝑸\mathrm{\Lambda }({𝑸}^{-1}𝑸)\mathrm{\Lambda }{𝑸}^{-1}=𝑸{\mathrm{\Lambda }}^2{𝑸}^{-1}$,

${𝑨}^n=𝑸{\mathrm{\Lambda }}^n{𝑸}^{-1}$ a

$\exp 𝑨=𝑸\exp (\mathrm{\Lambda }){𝑸}^{-1}$, přičemž $\exp 𝑨$ zde značí maticovou exponenciálu.

Numerické záležitosti

Výpočet vlastních čísel

V praxi se vlastní čísla velkých matic nepočítají pomocí charakteristického polynomu. Výpočet polynomu je sám o sobě nákladný a podle Abelovy-Ruffiniho věty nelze pro obecné polynomy stupně alespoň 5 odvodit vzorce pro vyjádření kořenů. Proto se pro určení vlastních čísel a vlastních vektorů používají iterativní numerické metody.

I když lze např. Newtonovou metodou aproximovat kořeny polynomů, používají se pro vlastní čísla jiné postupy než výpočet charakteristického polynomu a následná aproximace jeho kořenů. Jedním z důvodů je, že i malé zaokrouhlovací chyby v koeficientech charakteristického polynomu mohou vést k velkým chybám ve vlastních číslech a vlastních vektorech: kořeny jsou špatně podmíněny koeficienty polynomu.

Jednoduchým a dostatečně přesným iteračním postupem je mocninná metoda: Nejprve je vybrán náhodný vektor $𝒗$ a poté se spočítá posloupnost jednotkových vektorů $\frac{𝑨𝒗}{\Vert 𝑨𝒗\Vert },\frac{{𝑨}^2𝒗}{\Vert {𝑨}^2𝒗\Vert },\frac{{𝑨}^3𝒗}{\Vert {𝑨}^3𝒗\Vert },\dots$Tato posloupnost téměř vždy konverguje k vlastnímu vektoru odpovídajícímu největšímu vlastnímu číslu za předpokladu, že $𝒗$ má nenulovou složku souřadnic u tohoto vlastního vektoru vzhledem k bázi z vlastních vektorů (a také za předpokladu, že jen jedno vlastní číslo má největší absolutní hodnotu).

Tento jednoduchý algoritmus je užitečný v některých praktických aplikacích; například Google jej používá k výpočtu hodnocení stránek dokumentů ve svém vyhledávači. Z mocninné metody vycházejí i sofistikovanější postupy, např. QR algoritmus.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Jordanova normální forma
• Singulární rozklad
• Schurův rozklad
• Sylvesterův zákon setrvačnosti