Sylvesterův zákon setrvačnosti

Šablona:Upravit Sylvesterův zákon setrvačnosti je matematické tvrzení z oboru lineární algebry charakterizující vyjádření kvadratické formy diagonální maticí.

Znění věty

Pro každou kvadratickou formu f existuje báze, vůči které má f diagonální matici s prvky -1,0,1. Navíc, tato matice je, až na pořadí prvků, jednoznačná.

Důkaz

Existence

Buď $A$ matice formy $f$. A je symetrická, takže existuje její spektrální rozklad $A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^T$, kde $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{(}{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{2}},\mathrm{\dots },{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}$. Čili $\mathrm{\Lambda }=Q^{T}AQ$ je diagonalizace formy. Pro $-1,1$ na diagonále provedeme úpravu ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }{Q}^{T}AQ{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }$, kde ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }$ je diagonální matice s prvky $\mathrm{\Lambda }{\text{'}}_{ii}=|{\lambda }_i{|}^{-1/2}$ pro ${\lambda }_i\ne 0$ a $\mathrm{\Lambda }{\text{'}}_{ii}=0$ pro ${\lambda }_i=0$.

Jednoznačnost

Nechť existují dvě různé diagonalizace $D,D^{\prime }$ pro bázi $B=\{w_1,w_2,\dots ,w_n\}$ a $B^{\prime }=\{w{\text{'}}_1,w{\text{'}}_2,\dots ,w{\text{'}}_n\}$ prostoru $V$. Buď $u\in V$ libovolné a nechť má souřadnice $x=[u{]}_B$ a $y=[u{]}_{B^{\prime }}$. Pak

$f(u)=x^{T}Dx=x_1^2+\dots +x_p^2-x_{p+1}^2-\dots -x_q^2+0x_{q+1}^2+\dots +0x_n^2$,

$f(u)=y^{T}Dy=y_1^2+\dots +y_p^2-y_{p+1}^2-\dots -y_q^2+0y_{q+1}^2+\dots +0y_n^2$.

Platí $q=t$, protože $D=S^T{D}^{\prime }S$ pro nějakou regulární $S$. Proto $D,D^{\prime }$ mají stejnou hodnost. Ukažme, že nutně $p=s$. BÚNO nechť $p>s$. Definujme prostory$P=\text{span}(w_1,w_2,\dots ,w_p)$ a $R=\text{span}(w{\text{'}}_{s+1},w{\text{'}}_{s+2},\dots ,w{\text{'}}_n)$. Pak $\text{dim}(P\cap R)=\text{dim}P+\text{dim}R-\text{dim}(P+R)\le p+(n-s)-n=p-s\le 1$.

Tedy existuje nenulový $y\in P\cap R$ a pro něj máme $u=\sum _{i=1}^p{x}_i{w}_i=\sum _{j=s+1}^n{y}_{j}w{\text{'}}_j$ z čehož dostaneme $f(u)=x_1^2+...+x_p^2>0$ a zároveň $f(u)=-y_{s+1}^2-...-y_t^2\le 0$, což je spor. Šablona:Autoritní data