Hermitovy polynomy

Hermitovy polynomy jsou v matematice klasická posloupnost ortogonálních polynomů.

Hermitovy polynomy se objevují:

• ve zpracování signálu jako Hermitovské vlnky pro analýzu vlnkovou transformací
• v pravděpodobnosti, jako například Edgeworthova řada nebo v souvislosti s Brownovým pohybem;
• v kombinatorice, jako příklad Appellovy posloupnosti, která řídí stínový počet;
• v numerické matematice jako Gaussovo kvadraturní pravidlo;
• ve fyzice, kde popisují kvantové stavy kvantového harmonického oscilátoru;
• v teorii systémů ve spojení s nelineárními operacemi na Gaussovském šumu.
• v náhodných maticích v Gaussovských náhodných maticích.

Hermitovy polynomy definoval (i když v sotva rozpoznatelném formě) Pierre-Simon Laplace v roce 1810; detailně je zkoumal Pafnutij Lvovič Čebyšev v roce 1859. Čebyševova práce však byla přehlížena a polynomy byly později pojmenovány po Charlesu Hermitovi, který je popsal jako nové v roce 1864. Hermite tyto polynomy tedy neobjevil jako první, ale ve svém pozdějším díle z roku 1865 definoval vícerozměrné polynomy.

Definice

Hermitovy polynomy je možné definovat stejně jako jiné klasické ortogonální polynomy několika způsoby. Je třeba si uvědomit, že existují dvě různé definice, přičemž obvyklejší je tato:

• „pravděpodobnostní Hermitovy polynomy“ jsou dány vzorcem

${𝐻𝑒}_n(x)=(-1{)}^n{e}^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{\text{d}{x}^n}{e}^{-\frac{x^2}{2}},$

• zatímco „fyzikální Hermitovy polynomy“ jsou dány vzorcem

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{\text{d}{x}^n}{e}^{-x^2}.$

Tyto rovnice mají tvar Rodriguesova vzorce a zapisují se také jako

${𝐻𝑒}_n(x)={(x-\frac{\text{d}}{\text{d}x})}^n\cdot 1,H_n(x)={(2x-\frac{\text{d}}{\text{d}x})}^n\cdot 1.$

tyto dvě definice ovšem nejsou přesně identické; liší se použitím jiného měřítka:

$H_n(x)=2^{\frac{n}{2}}{𝐻𝑒}_n\left(\sqrt{2}x\right),{𝐻𝑒}_n(x)=2^{-\frac{n}{2}}{H}_n\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).$

Tyto posloupnosti Hermitových polynomů se liší rozptylem; viz výklad o variancích níže.

Obvykle se pravděpodobnostní a fyzikální Hermitovy polynomy rozlišují značením Šablona:Mvar a Šablona:Mvar, v teorii pravděpodobnosti se však často místo Šablona:Mvar používá Šablona:Mvar, protože

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

je hustota pravděpodobnosti pro normální rozdělení se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 1.

Prvních šest pravděpodobnostních Hermitových polynomů Šablona:Math

• Prvních jedenáct pravděpodobnostních Hermitových polynomů:

$\begin{array}{cc}{𝐻𝑒}_0(x)& =1,\\ {𝐻𝑒}_1(x)& =x,\\ {𝐻𝑒}_2(x)& =x^2-1,\\ {𝐻𝑒}_3(x)& =x^3-3x,\\ {𝐻𝑒}_4(x)& =x^4-6x^2+3,\\ {𝐻𝑒}_5(x)& =x^5-10x^3+15x,\\ {𝐻𝑒}_6(x)& =x^6-15x^4+45x^2-15,\\ {𝐻𝑒}_7(x)& =x^7-21x^5+105x^3-105x,\\ {𝐻𝑒}_8(x)& =x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105,\\ {𝐻𝑒}_9(x)& =x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x,\\ {𝐻𝑒}_{10}(x)& =x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945.\end{array}$

Prvních šest (fyzikálních) Hermitových polynomů Šablona:Math

• Prvních jedenáct fyzikálních Hermitových polynomů:

$\begin{array}{cc}{H}_0(x)& =1,\\ H_1(x)& =2x,\\ H_2(x)& =4x^2-2,\\ H_3(x)& =8x^3-12x,\\ H_4(x)& =16x^4-48x^2+12,\\ H_5(x)& =32x^5-160x^3+120x,\\ H_6(x)& =64x^6-480x^4+720x^2-120,\\ H_7(x)& =128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x,\\ H_8(x)& =256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680,\\ H_9(x)& =512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x,\\ H_{10}(x)& =1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240.\end{array}$

Vlastnosti

Hermitův polynom Šablona:Mvar-tého řádu je polynom stupně Šablona:Mvar. Pravděpodobnostní verze Šablona:Mvar má vedoucí koeficient 1, zatímco fyzikální verze Šablona:Mvar má úvodní koeficient Šablona:Math.

Symetrie

Z Rodriguesova vzorce uvedeného výše je vidět, že Šablona:Math a Šablona:Math jsou sudé nebo liché funkce podle Šablona:Mvar:

$H_n(-x)=(-1{)}^n{H}_n(x),{𝐻𝑒}_n(-x)=(-1{)}^n{𝐻𝑒}_n(x).$

Ortogonalita

Šablona:Math a Šablona:Math jsou polynomy Šablona:Mvar-tého stupně pro Šablona:Math. Tyto polynomy jsou ortogonální vzhledem k váhové funkci (míře)

$w(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}(\text{pro }𝐻𝑒)$

nebo

$w(x)=e^{-x^2}(\text{pro }H),$

tj. máme

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_m(x)H_n(x)w(x)\text{d}x=0\text{pro každé }m\ne n.$

a navíc

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝐻𝑒}_m(x){𝐻𝑒}_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}\text{d}x=\sqrt{2\pi }n!{\delta }_{nm},$

nebo

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\text{d}x=\sqrt{\pi }{2}^{n}n!{\delta }_{nm},$

kde ${\delta }_{nm}$ je Kroneckerovo delta.

Pravděpodobnostní polynomy jsou tedy ortogonální vzhledem ke standardní normální hustotě pravděpodobnosti.

Úplnost

Hermitovy polynomy (jak pravděpodobnostní tak fyzikální) tvoří ortogonální bázi Hilbertova prostoru funkcí, které splňují

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}w(x)\text{d}x<\mathrm{\infty },$

ve kterém je vnitřní součin definován integrálem

$⟨f,g⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}w(x)\text{d}x,$

kde Šablona:Math je gaussovská váhová funkce definovaná v předchozí části.

Ortogonální báze pro Šablona:Math tvoří úplný ortogonální systém. Pro ortogonální systém je úplnost ekvivalentní se skutečností, že nulová funkce je jedinou funkcí Šablona:Math, která je ortogonální se všemi funkcemi v systému.

Protože lineárním obalem Hermitových polynomů je prostor všech polynomů, pro důkaz úplnosti (pro fyzikální polynomy) stačí dokázat, že pokud Šablona:Mvar splňuje

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)x^n{e}^{-x^2}\text{d}x=0$

pro každé Šablona:Math, pak Šablona:Math.

Jedním ze způsobů, jak to udělat, je uvědomit si, že celá funkce

$F(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{zx-x^2}\text{d}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}\int f(x)x^n{e}^{-x^2}\text{d}x=0$

bude mít nulovou hodnotu identicky. Skutečnost, že pak bude Šablona:Math pro každé reálné Šablona:Mvar znamená, že Fourierova transformace Šablona:Math je 0, a tedy že Šablona:Mvar je 0 skoro všude. Varianty výše uvedeného důkazu úplnosti platí i pro jiné váhy s exponenciálním poklesem.

V Hermitově případě je možné dokázat i explicitní identitu, která implikuje úplnost (viz část na Relace úplnosti níže).

Ekvivalentně lze fakt, že Hermitovy polynomy jsou ortogonální bází pro Šablona:Math, formulovat zavedením Hermitových funkcí (viz níže) a ukázáním, že jsou ortonormální bází pro Šablona:Math.

Hermitova diferenciální rovnice

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy jsou řešením diferenciální rovnice

$\left(e^{-\frac{1}{2}{x}^2}{u}^{\prime }\right)+\lambda e^{-\frac{1}{2}{x}^2}u=0,$

kde Šablona:Mvar je konstanta. Zavedením okrajové podmínky, že funkce Šablona:Mvar musí být v nekonečnu polynomiálně omezená, má rovnice řešení, pouze pokud Šablona:Mvar je nezáporné celé číslo, a pak je řešení jednoznačně dáno $u(x)=C_{1}H{e}_{\lambda }(x)$, kde $C_1$ je konstanta.

Přepsáním diferenciální rovnice jako problém vlastních hodnot

$L[u]=u^{″}-x{u}^{\prime }=-\lambda u,$

Hermitovy polynomy $H{e}_{\lambda }(x)$ je možné chápat jako vlastní funkce diferenciálního operátoru $L[u]$ . Tento problém vlastní hodnoty se nazývá Hermitova rovnice, i když tento termín se také používá pro blízce příbuzné rovnice

$u^{″}-2x{u}^{\prime }=-2\lambda u.$

jejichž řešení lze, po stanovení okrajové podmínky, že Šablona:Mvar musí být polynomiálně omezená v nekonečnu, jednoznačně vyjádřit pomocí fyzikálních Hermitových polynomů ve tvaru $u(x)=C_1{H}_{\lambda }(x)$, kde $C_1$ je konstanta.

Obecné řešení výše uvedené diferenciální rovnice druhého řádu je vlastně lineární kombinací obou Hermitových polynomů a konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Například pro fyzikální Hermitovu rovnici

$u^{″}-2x{u}^{\prime }+2\lambda u=0,$

má obecné řešení tvar

$u(x)=C_1{H}_{\lambda }(x)+C_2{h}_{\lambda }(x),$

kde $C_1$ a $C_2$ jsou konstanty, $H_{\lambda }(x)$ jsou fyzikální Hermitovy polynomy (prvního druhu) a $h_{\lambda }(x)$ jsou fyzikální Hermitovy funkce (druhého druhu). Tyto funkce lze kompaktně reprezentovat jako $h_{\lambda }(x)={}_1{F}_1(-\frac{\lambda }{2};\frac{1}{2};x^2)$ kde ${}_1{F}_1(a;b;z)$ jsou konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Obvyklé Hermitovy polynomy lze také vyjádřit pomocí konfluentních hypergeometrických funkcí, viz níže.

S obecnějšími okrajovými podmínkami je možné zobecnit Hermitovy polynomy pro získání obecnějších analytických funkcí pro komplexní Šablona:Mvar. Explicitní vzorec Hermitových polynomů pomocí křivkových integrálů Šablona:Sfn je také možné.

Rekurentní vzorec

Posloupnost pravděpodobnostních Hermitových polynomů také vyhovuje diferenční rovnici

${𝐻𝑒}_{n+1}(x)=x{𝐻𝑒}_n(x)-{{𝐻𝑒}_n}^{\prime }(x).$

Vztah jednotlivých koeficientů popisuje následující rekurentní vzorec:

$a_{n+1,k}=\{\begin{array}{cc}-n{a}_{n-1,k}& k=0,\\ a_{n,k-1}-n{a}_{n-1,k}& k>0,\end{array}$

a Šablona:Math, Šablona:Math, Šablona:Math.

Pro fyzikální polynomy, předpokládá

$H_n(x)=\sum _{k=0}^n{a}_{n,k}{x}^k,$

máme

$H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-{H_n}^{\prime }(x).$

Vztah jednotlivých koeficientů popisuje následující rekurentní vzorec:

$a_{n+1,k}=\{\begin{array}{cc}-a_{n,k+1}& k=0,\\ 2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}& k>0,\end{array}$

a Šablona:Math, Šablona:Math, Šablona:Math.

Hermitovy polynomy tvoří Appellovu posloupnost, tj. jsou posloupností polynomů, která vyhovuje rovnici

$\begin{array}{cc}{{𝐻𝑒}_n}^{\prime }(x)& =n{𝐻𝑒}_{n-1}(x),\\ {H_n}^{\prime }(x)& =2n{H}_{n-1}(x).\end{array}$

Ekvivalentně, podle Taylorova rozvoje,

$\begin{array}{cccc}{𝐻𝑒}_n(x+y)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{𝐻𝑒}_k(y)& & =2^{-\frac{n}{2}}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){𝐻𝑒}_{n-k}\left(x\sqrt{2}\right){𝐻𝑒}_k\left(y\sqrt{2}\right),\\ H_n(x+y)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})H_k(x)(2y{)}^{(n-k)}& & =2^{-\frac{n}{2}}\cdot \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})H_{n-k}\left(x\sqrt{2}\right)H_k\left(y\sqrt{2}\right).\end{array}$

Tyto identity stínového počtu jsou evidentní a obsažené v reprezentaci diferenciálním operátorem rozebrané níže

$\begin{array}{cc}{𝐻𝑒}_n(x)& =e^{-\frac{D^2}{2}}{x}^n,\\ H_n(x)& =2^n{e}^{-\frac{D^2}{4}}{x}^n.\end{array}$

V důsledku pro Šablona:Mvar-tou derivaci platí:

$\begin{array}{cccc}{𝐻𝑒}_n^{(m)}(x)& =\frac{n!}{(n-m)!}{𝐻𝑒}_{n-m}(x)& & =m!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}){𝐻𝑒}_{n-m}(x),\\ H_n^{(m)}(x)& =2^m\frac{n!}{(n-m)!}{H}_{n-m}(x)& & =2^{m}m!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})H_{n-m}(x).\end{array}$

Odtud plyne, že Hermitovy polynomy také vyhovují diferenční rovnici

$\begin{array}{cc}{𝐻𝑒}_{n+1}(x)& =x{𝐻𝑒}_n(x)-n{𝐻𝑒}_{n-1}(x),\\ H_{n+1}(x)& =2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x).\end{array}$

Tyto poslední vzorce se spolu s počátečními polynomy Šablona:Math a Šablona:Math používají v praxi pro rychlé vyčíslení hodnoty polynomů.

Platí Turánovy nerovnosti:

${𝐻}_n(x{)}^2-{𝐻}_{n-1}(x){𝐻}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}\frac{2^{n-i}}{i!}{𝐻}_i(x{)}^2>0.$

a následující multiplikační věta:

$\begin{array}{cc}{H}_n(\gamma x)& =\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{\gamma }^{n-2i}({\gamma }^2-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2i})\frac{(2i)!}{i!}{H}_{n-2i}(x),\\ {𝐻𝑒}_n(\gamma x)& =\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{\gamma }^{n-2i}({\gamma }^2-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2i})\frac{(2i)!}{i!}{2}^{-i}{𝐻𝑒}_{n-2i}(x).\end{array}$

Explicitní vyjádření

Fyzikální Hermitovy polynomy je možné psát explicitně jako

$H_n(x)=\{\begin{array}{cc}n!\sum _{l=0}^{\frac{n}{2}}\frac{(-1{)}^{\frac{n}{2}-l}}{(2l)!(\frac{n}{2}-l)!}(2x{)}^{2l}& \text{pro sudé }n,\\ n!\sum _{l=0}^{\frac{n-1}{2}}\frac{(-1{)}^{\frac{n-1}{2}-l}}{(2l+1)!(\frac{n-1}{2}-l)!}(2x{)}^{2l+1}& \text{pro liché }n.\end{array}$

Tyto dvě rovnice je možné zkombinovat do jedné pomocí funkce celá část:

$H_n(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\frac{(-1{)}^m}{m!(n-2m)!}(2x{)}^{n-2m}.$

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy Šablona:Mvar mají podobné vzorce, které je možné získat z těchto nahrazením mocniny Šablona:Math odpovídající mocninou Šablona:Math a znásobením celého součtu výrazem Šablona:Math:

$H{e}_n(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\frac{(-1{)}^m}{m!(n-2m)!}\frac{x^{n-2m}}{2^m}.$

Inverzní explicitní výraz

Inverzí výše uvedených explicitních výrazů, tj. výrazů pro jednočleny v členech pravděpodobnostních Hermitových polynomů Šablona:Mvar jsou

$x^n=n!\sum _{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\frac{1}{2^{m}m!(n-2m)!}H{e}_{n-2m}(x).$

Odpovídající výrazy pro fyzikální Hermitovy polynomy Šablona:Mvar zjistíme přímo správnou změnou měřítka takto:

$x^n=\frac{n!}{2^n}\sum _{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\frac{1}{m!(n-2m)!}{H}_{n-2m}(x).$

Vytvořující funkce

Hermitovy polynomy lze zadat vytvořující funkcí

$\begin{array}{cc}{e}^{xt-\frac{1}{2}{t}^2}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{𝐻𝑒}_n(x)\frac{t^n}{n!},\\ e^{2xt-t^2}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n(x)\frac{t^n}{n!}.\end{array}$

Tato rovnost je platná pro všechny komplexní hodnoty Šablona:Mvar a Šablona:Mvar a je možné ji získat zapsáním Taylorova rozvoje v Šablona:Mvar celé funkce Šablona:Math (ve fyzikálním případě). Můžeme také odvodit (fyzikální) vytvořující funkce pomocí Cauchyův vzorec zapsat Hermitovy polynomy jako

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}{e}^{-x^2}=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{e^{-z^2}}{(z-x{)}^{n+1}}dz.$

Dosazením do součtu

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n(x)\frac{t^n}{n!},$

je možné vyhodnotit zbývající integrál pomocí reziduového počtu a tak získat požadovanou vytvořující funkci.

Střední hodnoty

Pokud Šablona:Mvar je náhodná veličina s normálním rozdělením se standardní odchylkou 1 a střední hodnotou Šablona:Mvar, pak

$𝔼[{𝐻𝑒}_n(X)]={\mu }^n.$

Momenty standardního normálního rozdělení (se střední hodnotou nula) je možné číst přímo z relace pro sudé indexy:

$𝔼\left[X^{2n}\right]=(-1{)}^n{𝐻𝑒}_{2n}(0)=(2n-1)!!,$

kde Šablona:Math je dvojitý faktoriál. Pamatujte, že výše uvedený výraz je speciálním případem reprezentace pravděpodobnostních Hermitových polynomů jako momentů:

${𝐻𝑒}_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x+iy{)}^n{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy.$

Asymptotický rozvoj

Asymptoticky pro Šablona:Math, lze použít rozvoj

$e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x)\sim \frac{2^n}{\sqrt{\pi }}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)\cos (x\sqrt{2n}-\frac{n\pi }{2})$

Pro určité případy zabývající se širším rozsahem vyhodnocování je nutné zahrnout faktor pro změnu amplitudy:

$e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x)\sim \frac{2^n}{\sqrt{\pi }}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)\cos (x\sqrt{2n}-\frac{n\pi }{2}){(1-\frac{x^2}{2n+1})}^{-\frac{1}{4}}=\frac{2\mathrm{\Gamma }(n)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cos (x\sqrt{2n}-\frac{n\pi }{2}){(1-\frac{x^2}{2n+1})}^{-\frac{1}{4}},$

což lze, pomocí Stirlingova vzorce dále zjednodušit; v limitě na

$e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x)\sim {\left(\frac{2n}{e}\right)}^{\frac{n}{2}}\sqrt{2}\cos (x\sqrt{2n}-\frac{n\pi }{2}){(1-\frac{x^2}{2n+1})}^{-\frac{1}{4}}.$

Toto rozvoj je potřebný pro řešení vlnové funkce kvantového harmonického oscilátoru tak, že souhlasí s klasickou aproximací v limitě principu korespondence.

Lepší aproximaci, která odpovídá za variaci ve frekvenci, popisuje vztah

$e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x)\sim {\left(\frac{2n}{e}\right)}^{\frac{n}{2}}\sqrt{2}\cos (x\sqrt{2n+1-\frac{x^2}{3}}-\frac{n\pi }{2}){(1-\frac{x^2}{2n+1})}^{-\frac{1}{4}}.$

Jemnější aproximace,Šablona:Sfn která bere v úvahu nestejný odstup kořenů blízko hrany, používá substituci

$x=\sqrt{2n+1}\cos (\phi ),0<\epsilon \le \phi \le \pi -\epsilon ,$

se kterou máme rovnoměrnou aproximaci

$e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x)=2^{\frac{n}{2}+\frac{1}{4}}\sqrt{n!}(\pi n{)}^{-\frac{1}{4}}(\sin \phi {)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (\sin (\frac{3\pi }{4}+(\frac{n}{2}+\frac{1}{4})(\sin 2\phi -2\phi ))+O\left(n^{-1}\right)).$

Podobná aproximace platí pro monotonní a přechod oblasti. Konkrétně pokud

$x=\sqrt{2n+1}\cosh (\phi ),0<\epsilon \le \phi \le \omega <\mathrm{\infty },$

pak

$e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x)=2^{\frac{n}{2}-\frac{3}{4}}\sqrt{n!}(\pi n{)}^{-\frac{1}{4}}(\sinh \phi {)}^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{(\frac{n}{2}+\frac{1}{4})(2\phi -\sinh 2\phi )}(1+O\left(n^{-1}\right)),$

zatímco pro

$x=\sqrt{2n+1}+t$

s Šablona:Mvar komplerxním a omezeným je aproximace

$e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x)={\pi }^{\frac{1}{4}}{2}^{\frac{n}{2}+\frac{1}{4}}\sqrt{n!}{n}^{-\frac{1}{12}}(\mathrm{Ai}\left(2^{\frac{1}{2}}{n}^{\frac{1}{6}}t\right)+O\left(n^{-\frac{2}{3}}\right)),$

kde Šablona:Math je Airyho funkce prvního druhu.

Speciální hodnoty

Fyzikální Hermitovy polynomy vyčíslené v bodě nula Šablona:Math se nazývají Hermitova čísla.

$H_n(0)=\{\begin{array}{cc}0& \text{pro lichá }n,\\ (-2{)}^{\frac{n}{2}}(n-1)!!& \text{pro sudé }n,\end{array}$

což vyhovuje rekurentnímu vzorci Šablona:Math.

V členech pravděpodobnostních polynomů se převádí na

$H{e}_n(0)=\{\begin{array}{cc}0& \text{pro liché }n,\\ (-1{)}^{\frac{n}{2}}(n-1)!!& \text{pro sudé }n.\end{array}$

Vztahy k jiným funkcím

Laguerrovy polynomy

Hermitovy polynomy lze vyjádřit jako speciální případ Laguerrových polynomů:

$\begin{array}{cccc}{H}_{2n}(x)& =(-4{)}^{n}n!L_n^{(-\frac{1}{2})}(x^2)& & =4^{n}n!\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\frac{1}{2}}{n-k})\frac{x^{2k}}{k!},\\ H_{2n+1}(x)& =2(-4{)}^{n}n!x{L}_n^{\left(\frac{1}{2}\right)}(x^2)& & =2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\frac{1}{2}}{n-k})\frac{x^{2k+1}}{k!}.\end{array}$

Vztah k konfluentním hypergeometrickým funkcím

Fyzikální Hermitovy polynomy je možné vyjádřit jako speciální případ parabolických válcových funkcí:

$H_n(x)=2^{n}U(-\frac{1}{2}n,\frac{1}{2},x^2)$

v pravé polorovině, kde Šablona:Math je Tricomiho konfluentní hypergeometrické funkce. Podobně

$\begin{array}{cc}{H}_{2n}(x)& =(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!}{}_1{F}_1(-n,\frac{1}{2};x^2),\\ H_{2n+1}(x)& =(-1{)}^n\frac{(2n+1)!}{n!}2x{}_1{F}_1(-n,\frac{3}{2};x^2),\end{array}$

kde Šablona:Math je Kummerova konfluentní hypergeometrické funkce.

Reprezentace diferenciálním operátorem

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy vyhovují vztahu

${𝐻𝑒}_n(x)=e^{-\frac{D^2}{2}}{x}^n,$

kde Šablona:Mvar reprezentuje derivaci podle Šablona:Mvar a exponenciální funkce je interpretována svým rozvojem na mocninnou řadu. O konvergenci této řady aplikované na polynomy není pochyb, protože všechny členy až na konečný počet zanikají.

Protože koeficienty mocninné řady exponenciální funkce jsou známé a derivace vyššího řádu jednočlenu Šablona:Math je možné zapsat explicitně, tato reprezentace diferenciálním operátorem dává konkrétní vzorec pro koeficienty Šablona:Math, který lze použít pro rychlý výpočet těchto polynomů.

Protože formální výraz pro Weierstrassovu transformaci Šablona:Mvar je Šablona:Math, vidíme, že Weierstrassova transformace Šablona:Math je Šablona:Math. Weierstrassova transformace tedy v zásadě převádí řadu Hermitových polynomů na odpovídající Taylorovu řadu.

Existence nějaké formální mocninné řady Šablona:Math s nenulovým konstantním koeficientem, takové, že Šablona:Math, je dalším ekvivalentem tvrzení, že tyto polynomy tvoří Appellovu posloupnost. Protože jsou Appellovou posloupností, jsou také Shefferovou posloupností.

Reprezentace křivkovým integrálem

Z reprezentace generující funkce uvedené výše, vidíme, že Hermitovy polynomy lze reprezentovat pomocí křivkový integrál, protože

$\begin{array}{cc}{𝐻𝑒}_n(x)& =\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{e^{tx-\frac{t^2}{2}}}{t^{n+1}}dt,\\ H_n(x)& =\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{e^{2tx-t^2}}{t^{n+1}}dt,\end{array}$

s křivkou obkružující počátek souřadnicového systému.

Zobecnění

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy definované výše jsou ortogonální vůči standardnímu normálnímu rozdělení pravděpodobnosti, jehož hustota je

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},$

a které má střední hodnotu 0 a rozptyl 1.

Při změně měřítka je možné obdobně mluvit o zobecněných Hermitových polynomech

${𝐻𝑒}_n^{[\alpha ]}(x)$

s rozptylem Šablona:Mvar, kde Šablona:Mvar je jakékoli kladné číslo. Tyto jsou pak ortogonální vzhledem k normální rozdělení pravděpodobnosti, jejíž hustota je

$(2\pi \alpha {)}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{x^2}{2\alpha }}.$

Jsou daný

${𝐻𝑒}_n^{[\alpha ]}(x)={\alpha }^{\frac{n}{2}}{𝐻𝑒}_n\left(\frac{x}{\sqrt{\alpha }}\right)={\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^{\frac{n}{2}}{H}_n\left(\frac{x}{\sqrt{2\alpha }}\right)=e^{-\frac{\alpha D^2}{2}}\left(x^n\right).$

Nyní, pokud

${𝐻𝑒}_n^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^n{h}_{n,k}^{[\alpha ]}{x}^k,$

pak posloupnost polynomů, jejíž Šablona:Mvar-tý člen je

$({𝐻𝑒}_n^{[\alpha ]}\circ {𝐻𝑒}^{[\beta ]})(x)\equiv \sum _{k=0}^n{h}_{n,k}^{[\alpha ]}{𝐻𝑒}_k^{[\beta ]}(x)$

se nazývá stínová kompozice dvou posloupností polynomů. Lze dokázat, že vyhovuje identitám

$({𝐻𝑒}_n^{[\alpha ]}\circ {𝐻𝑒}^{[\beta ]})(x)={𝐻𝑒}_n^{[\alpha +\beta ]}(x)$

a

${𝐻𝑒}_n^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){𝐻𝑒}_k^{[\alpha ]}(x){𝐻𝑒}_{n-k}^{[\beta ]}(y).$

Poslední vztah lze vyjádřit tím, že řekneme, že tato parametrizovaná rodina posloupností polynomů je známá jako křížová posloupnost. (Viz výše uvedená část o Appellových posloupnostech a o reprezentaci diferenciálním operátorem, která vede k její připravené derivaci. Tento vztah identity binomického typu pro Šablona:Math jsme již zaznamenali ve výše uvedené části o rekurentních vzorcích.)

„Záporný rozptyl“

Protože posloupnosti polynomů tvoří grupu s operací stínové kompozice, je možné pomocí

${𝐻𝑒}_n^{[-\alpha ]}(x)$

zapsat posloupnost, která je inverzní k podobně označené posloupnosti, ale bez znaménka minus, proto mluvíme o Hermitových polynomech se záporným rozptylem. Pro Šablona:Math jsou koeficienty ${𝐻𝑒}_n^{[-\alpha ]}(x)$ pouze absolutními hodnotami odpovídajících koeficientů ${𝐻𝑒}_n^{[\alpha ]}(x)$.

Tyto koeficienty se objevují jako momenty normálního rozdělení pravděpodobnosti: Šablona:Mvar-tý moment normálního rozdělení se střední hodnotou Šablona:Mvar a rozptylem Šablona:Math je

$E[X^n]={𝐻𝑒}_n^{[-{\sigma }^2]}(\mu ),$

kde Šablona:Mvar je náhodná proměnná s uvedeným normálním rozdělením. Speciální případ křížové posloupnosti identit pak říká, že

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){𝐻𝑒}_k^{[\alpha ]}(x){𝐻𝑒}_{n-k}^{[-\alpha ]}(y)={𝐻𝑒}_n^{[0]}(x+y)=(x+y{)}^n.$

Aplikace

Hermitovy funkce

Z fyzikálních polynomů je možnédefinovat Hermitovy funkce (často nazývané Hermitovy-gaussovy funkce):

${\psi }_n(x)={(2^{n}n!\sqrt{\pi })}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}{H}_n(x)=(-1{)}^n{(2^{n}n!\sqrt{\pi })}^{-\frac{1}{2}}{e}^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{\text{d}{x}^n}{e}^{-x^2}.$

tedy

$\sqrt{2(n+1)}{\psi }_{n+1}(x)=(x-\frac{d}{\text{d}x}){\psi }_n(x).$

Protože tyto funkce obsahují druhou odmocninu váhové funkce a jejich měřítko bylo vhodným způsobem upravené, jsou ortonormální:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }_n(x){\psi }_m(x)\text{d}x={\delta }_{nm},$

a tvoří ortonormální bázi prostoru Šablona:Math. Tato skutečnost je ekvivalentní se stejným tvrzením pro Hermitovy polynomy (viz výše).

Hermitovy funkce úzce souvisí s Whittakerovou funkcí Šablona:Sfn Šablona:Math:

$D_n(z)={(n!\sqrt{\pi })}^{\frac{1}{2}}{\psi }_n\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)=(-1{)}^n{e}^{\frac{z^2}{4}}\frac{d^n}{d{z}^n}{e}^{\frac{-z^2}{2}}$

a díky tomu i s dalšími parabolickými válcovými funkcemi.

Hermitovy funkce vyhovují diferenciální rovnici

${{\psi }_n}^{″}(x)+(2n+1-x^2){\psi }_n(x)=0.$

Tato rovnice je ekvivalentní se Schrödingerovou rovnicí pro harmonický oscilátor v kvantové mechanice, a tyto funkce jsou tedy vlastní funkce.

Hermitovy funkce: 0 (plná modrá), 1 (čárkovaná oranžová), 2 (čerchovaná zelená), 3 (tečkovaná červená), 4 (plná fialová), a 5 (čárkovaná hnědá)

$\begin{array}{cc}{\psi }_0(x)& ={\pi }^{-\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2},\\ {\psi }_1(x)& =\sqrt{2}{\pi }^{-\frac{1}{4}}x{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2},\\ {\psi }_2(x)& ={\left(\sqrt{2}{\pi }^{\frac{1}{4}}\right)}^{-1}(2x^2-1)e^{-\frac{1}{2}{x}^2},\\ {\psi }_3(x)& ={\left(\sqrt{3}{\pi }^{\frac{1}{4}}\right)}^{-1}(2x^3-3x)e^{-\frac{1}{2}{x}^2},\\ {\psi }_4(x)& ={\left(2\sqrt{6}{\pi }^{\frac{1}{4}}\right)}^{-1}(4x^4-12x^2+3)e^{-\frac{1}{2}{x}^2},\\ {\psi }_5(x)& ={\left(2\sqrt{15}{\pi }^{\frac{1}{4}}\right)}^{-1}(4x^5-20x^3+15x)e^{-\frac{1}{2}{x}^2}.\end{array}$

Hermitovy funkce: 0 (plná modrá), 2 (čárkovaná oranžová), 4 (čerchovaná zelená) 50 (plná červená)

Rekurentní vzorec

Podle rekurentního vzorce pro Hermitovy polynomy platí pro Hermitovy funkce

${{\psi }_n}^{\prime }(x)=\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}(x)-\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}(x)$

a

$x{\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}(x)+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}(x).$

Rozvoj prvního vzorce pro libovolnou Šablona:Mvar-tou derivaci pro jakékoli kladné celé číslo Šablona:Mvar vede k

${\psi }_n^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(-1{)}^k{2}^{\frac{m-k}{2}}\sqrt{\frac{n!}{(n-m+k)!}}{\psi }_{n-m+k}(x){𝐻𝑒}_k(x).$

Tento vzorec může být používán ve spojení s rekurentními vzorci pro Šablona:Math a Šablona:Math pro efektivní výpočet jakékoli derivace Hermitovy funkce.

Cramérova nerovnost

Pro reálné Šablona:Mvar vyhovují Hermitovy funkce následujícímu omezení, které dokázal Harald Cramér a Jack Indritz:

$|{\psi }_n(x)|\le {\pi }^{-\frac{1}{4}}.$

Hermitovy funkce jako vlastní funkce Fourierovy transformace

Hermitovy funkce Šablona:Math jsou sadou vlastních funkcí Fourierovy transformace $ℱ$. Pro ověření použijeme fyzikální verzi vytvořující funkce a znásobíme ji Šablona:Math. Tím dostaneme

$e^{-\frac{1}{2}{x}^2+2xt-t^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}{H}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Fourierovu transformaci levé strany popisuje vzorec

$\begin{array}{cc}ℱ\left\{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+2xt-t^2}\right\}(k)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ixk}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2+2xt-t^2}\text{d}x\\ & =e^{-\frac{1}{2}{k}^2-2kit+t^2}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{1}{2}{k}^2}{H}_n(k)\frac{(-it{)}^n}{n!}.\end{array}$

Fourierovu transformaci pravé strany pak vzorec

$ℱ\{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}{H}_n(x)\frac{t^n}{n!}\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}ℱ\{e^{-\frac{1}{2}{x}^2}{H}_n(x)\}\frac{t^n}{n!}.$

Srovnáním stejných mocnin Šablona:Mvar v transformované verzi levé a pravé strany dostáváme

$ℱ\{e^{-\frac{1}{2}{x}^2}{H}_n(x)\}=(-i{)}^n{e}^{-\frac{1}{2}{k}^2}{H}_n(k).$

Hermitovy funkce Šablona:Math jsou tedy ortonormální bází prostoru Šablona:Math, která diagonalizuje Fourierův transformační operátor.

Wignerova distribuce Hermitovy funkce

Wignerova distribuční funkce Šablona:Mvar-tého řádu Hermitovy funkce souvisí s Laguerrovými polynomy Šablona:Mvar-tého řádu. Laguerrovy polynomy jsou

$L_n(x):=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k,$

které vedou k oscilátorovým Laguerrovým funkcím

$l_n(x):=e^{-\frac{x}{2}}{L}_n(x).$

Pro všechna přirozená čísla Šablona:Mvar je zřejmé, že

$W_{{\psi }_n}(t,f)=(-1{)}^n{l}_n(4\pi (t^2+f^2)),$

kde Wignerova funkce rozdělení Šablona:Math je definována jako

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\frac{\tau }{2})x{(t-\frac{\tau }{2})}^{*}{e}^{-2\pi i\tau f}d\tau .$

To je základní výsledek pro kvantový harmonický oscilátor, který v roce 1946 objevil Hilbrand J. Groenewold a publikoval ve své disertační práci. Jedná se o standardní paradigma kvantové mechaniky ve fázovém prostoru.

Mezi těmito dvěma rodinami polynomů existují další vztahy.

Kombinatorická interpretace koeficientů

V Hermitově polynomu Šablona:Math s rozptylem 1 je absolutní hodnota koeficientu Šablona:Math rovna počtu (neuspořádaných) dělení Šablona:Mvar-prvkové množiny na Šablona:Mvar singletonů a Šablona:Math (neuspořádaných) dvojic. Ekvivalentně je to počet involucí Šablona:Mvar-prvkové množiny s právě Šablona:Mvar pevnými body, což je počet párování v úplném grafu s Šablona:Mvar vrcholy, které ponechávají Šablona:Mvar vrcholů nepokrytých (skutečně, Hermitovy polynomy jsou polynomy párování těchto grafů). Součet absolutních hodnot koeficientů dává celkový počet dělení na singletony a dvojice, tak zvaná telefonní čísla

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... Šablona:OEIS.

Tato kombinatorická interpretace je příbuzná s kompletními exponenciálními Bellovými polynomy jako

${𝐻𝑒}_n(x)=B_n(x,-1,0,\dots ,0),$

kde Šablona:Math pro všechna Šablona:Math.

Tato čísla je možné také vyjádřit jako speciální hodnotu Hermitových polynomů:

$T(n)=\frac{{𝐻𝑒}_n(i)}{i^n}.$

Relace úplnosti

Christoffelův–Darbouxův vzorec pro Hermitovy polynomy má tvar

$\sum _{k=0}^n\frac{H_k(x)H_k(y)}{k!2^k}=\frac{1}{n!2^{n+1}}\frac{H_n(y)H_{n+1}(x)-H_n(x)H_{n+1}(y)}{x-y}.$

Navíc pro výše uvedené Hermitovy funkce platí následující identita úplnosti ve smyslu distribucí:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\psi }_n(x){\psi }_n(y)=\delta (x-y),$

kde Šablona:Mvar je Diracovo delta, Šablona:Math jsou Hermitovy funkce a Šablona:Math reprezentuje Lebesgueovu míru na přímce Šablona:Math v Šablona:Math normalizovanou tak, že její projekce na horizontální osu je obvyklá Lebesgueova míra.

Použitím limity Šablona:Math v Mehlerově vzorci, který platí pro Šablona:Math, z této distribuční identity podle Šablona:Sfn plyne

$E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}^n{\psi }_n(x){\psi }_n(y)=\frac{1}{\sqrt{\pi (1-u^2)}}\exp (-\frac{1-u}{1+u}\frac{(x+y{)}^2}{4}-\frac{1+u}{1-u}\frac{(x-y{)}^2}{4}),$

což bývá často uváděno ekvivalentně jako separabilní jádro,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n(x)H_n(y)}{n!}{\left(\frac{u}{2}\right)}^n=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}{e}^{\frac{2u}{1+u}xy-\frac{u^2}{1-u^2}(x-y{)}^2}.$

Funkce Šablona:Math je gaussovská hustota pravděpodobnosti funkce dvou proměnných na Šablona:Math, která je při přiblížení Šablona:Mvar k 1, velmi zahuštěná kolem přímky Šablona:Math a velmi roztažená dále od této přímky. Odtud plyne, že

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}^n⟨f,{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n,g⟩=\iint E(x,y;u)f(x)\overline{g(y)}\text{d}x\text{d}y\to \int f(x)\overline{g(x)}\text{d}x=⟨f,g⟩$

pokud jsou funkce Šablona:Math a Šablona:Math spojité a mají kompaktní support.

Odtud je možné vyjádřit Šablona:Mvar v Hermitově funkci jako sumu řady vektorů v Šablona:Math, jmenovitě,

$f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}⟨f,{\psi }_n⟩{\psi }_n.$

Pro důkaz této rovnosti pro Šablona:Math použijeme opakovaně Fourierovu transformaci Gaussových funkcí:

$\rho \sqrt{\pi }{e}^{-\frac{{\rho }^2{x}^2}{4}}=\int e^{isx-\frac{s^2}{{\rho }^2}}ds\text{for }\rho >0.$

Hermitův polynom je pak reprezentován jako

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}(\frac{1}{2\sqrt{\pi }}\int e^{isx-\frac{s^2}{4}}ds)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{1}{2\sqrt{\pi }}\int (is{)}^n{e}^{isx-\frac{s^2}{4}}ds.$

Z této reprezentace Šablona:Math a Šablona:Math je zřejmé, že

$\begin{array}{cc}E(x,y;u)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{2^{n}n!\sqrt{\pi }}{H}_n(x)H_n(y)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\\ & =\frac{e^{\frac{x^2+y^2}{2}}}{4\pi \sqrt{\pi }}\iint (\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n!}(-ust{)}^n)e^{isx+ity-\frac{s^2}{4}-\frac{t^2}{4}}dsdt\\ & =\frac{e^{\frac{x^2+y^2}{2}}}{4\pi \sqrt{\pi }}\iint e^{-\frac{ust}{2}}{e}^{isx+ity-\frac{s^2}{4}-\frac{t^2}{4}}dsdt,\end{array}$

což, opět pomocí Fourierovy transformace gaussovských jader při substituci, dává požadovanou identitu

$s=\frac{\sigma +\tau }{\sqrt{2}},t=\frac{\sigma -\tau }{\sqrt{2}}.$

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie Šablona:Wayback
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace periodika Oeuvres complètes 12, pp.357-412, anglický překlad/translace Šablona:Wayback.
• Šablona:Citace monografie - 2000 referencí of Bibliography na Hermitovy polynomy.
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Hermitova transformace
• Legendrovy polynomy
• Mehlerovo jádro
• Parabolická válcová funkce
• Romanovského polynomy
• Turánovy nerovnosti

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:MathWorld
• GNU Scientific Library — knihovna pro jazyk C implementující Hermitovy polynomy, funkce, jejich derivace a kořeny (viz také GNU Scientific Library)