Airyho funkce

Airyho funkce $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ je vyšší transcendentní funkce pojmenovaná podle britského matematika a astronoma George Airyho. Funkce $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ a s ní příbuzná funkce $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$ tvoří řešení diferenciální rovnice

$y^{″}-xy=0,$

která je známa jako Airyho nebo Stokesova rovnice. Přesné řešení této rovnice má tvar

$y=c_1\mathrm{A}\mathrm{i}(x)+c_2\mathrm{B}\mathrm{i}(x),$

kde $c_1$ a $c_2$ jsou neznámé reálné (popřípadě komplexní) koeficienty (integrační konstanty). Toto řešení má charakteristický tvar, kde funkce prvně osciluje, poté však exponenciálně roste nebo klesá.

Definice

Graf Šablona:Math červeně a Šablona:Math modře

Airyho funkce je definována integrálním tvarem

$\mathrm{Ai}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\frac{t^3}{3}+xt)\mathrm{d}t.$

A podobně i funkce $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$.

$\mathrm{Bi}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)+\sin (\frac{t^3}{3}+xt)]\mathrm{d}t$

V grafu jsou vidět výše zmíněné vlastnosti. Obě funkce pro $x<0$ oscilují, ovšem v bodě $x=0$ se situace změní. Pro $x>0$ funkce $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ exponenciálně klesá a funkce $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$ naopak exponenciálně roste.

Užití

Kvantová mechanika

Airyho funkci obsahuje například vlnová funkce částice, která se pohybuje v jednodimenzionálním prostoru a současně v homogenním potenciálovém poli. Schrödingerova rovnice pro takovou částici vypadá následovně:

$E\mathrm{\Psi }=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+Fx\mathrm{\Psi },$

kde $E$ je celková energie částice, $\mathrm{\Psi }$ její vlnová funkce a $m$ její hmotnost. $\hslash$ značí redukovanou Planckovu konstantu, $x$ polohu částice a $F$ sílu, která na částici působí. Rovnici upravíme do přehlednějšího tvaru.

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}=\frac{2mF}{{\hslash }^2}(x-\frac{E}{F})\mathrm{\Psi }$

Vlnová funkce částice pak má předpis

$\mathrm{\Psi }(x)=c_1\mathrm{Ai}\left(\sqrt[3]{\frac{2mF}{{\hslash }^2}}(x-\frac{E}{F})\right)+c_2\mathrm{Bi}\left(\sqrt[3]{\frac{2mF}{{\hslash }^2}}(x-\frac{E}{F})\right),$

kde $c_1$ a $c_2$ jsou komplexní koeficienty. Pokud však máme částici naprosto volnou v celém jednodimenzionálním vesmíru a nemáme nijak specificky dané podmínky pro jeho hranice, bude mít vlnová funkce trochu jednodušší tvar. Jde o to, že pro $x$ menší než $\frac{E}{F}$ (v místech, kde je energie částice větší než potenciální) má částice oscilující vlnovou funkci, kdežto v případě kdy částice překoná vzdálenost $\frac{E}{F}$, začne její funkce exponenciálně klesat nebo růst. Tento jev nastane právě proto, že se částice v takovém momentu dostane do poloh s vyšším potenciálem, než je mechanická energie částice. Z klasické mechaniky by se do takových míst nemělo těleso nikdy dostat, ale kvantová mechanika tento děj připouští, dokonce pro něj má i speciální označení: tunelový jev. Nicméně z logiky věci a našich zkušeností s kvantovým tunelováním by pravděpodobnost výskytu částice měla s rostoucí polohou neustále slábnout a blížit se k nule. Není totiž možné, aby se částice nacházela v místě, na jehož dosažení její energie nestačí, mnohonásobně pravděpodobněji než v místech, kterých může bezpečně dosáhnout i bez tunelování. Natož pak, aby pravděpodobnost rostla se zvyšující se polohou $x$. Musí tomu být přesně naopak. Tuto podmínku lze vyjádřit matematicky jako

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Psi }(x)=0.$

Této podmínky je možné dosáhnout pouze položením $c_2=0$. Vlnová funkce tak získává mnohem elegantnější tvar.

$\mathrm{\Psi }(x)=c_1\mathrm{Ai}\left(\sqrt[3]{\frac{2mF}{{\hslash }^2}}(x-\frac{E}{F})\right)$

Koeficient $c_1$ je možné určit normalizací vlnové funkce. Menší problém je, že hustota pravděpodobnosti $\rho (x)=|\mathrm{\Psi }{|}^2={(|c_1|\mathrm{Ai}(x))}^2$ po integrování na celém prostoru nedává konečný výsledek, takový integrál je divergentní. Tím pádem funkci nelze normalizovat. Na druhou stranu pokud prostor ohraničíme zleva a částice se bude moct pohybovat pouze v intervalu $⟨x_0,\mathrm{\infty })$, kde $x_0$ tvoří určitý hraniční bod tohoto světa na polopřímce, integrál hustoty pravděpodobnosti v tomto intervalu bude konvergentní a vlnovou funkci bude možné normalizovat.

$\underset{x_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (x)\mathrm{d}x=|c_1{|}^2\underset{x_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{Ai}\left(\sqrt[3]{\frac{2mF}{{\hslash }^2}}(x-\frac{E}{F})\right)}^2\mathrm{d}x=1$

Zároveň se neporuší logická podmínka pro tunelování $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Psi }(x)=0$, protože směrem doprava, do vyšších potenciálních energií má částice volný přístup. Kdybychom hypotetický 1D vesmír omezili zprava, podmínka $c_2=0$ by už nemusela být nezbytnou.

Optika

Rozptylová funkce

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:MathWorld
• Ai
• Bi