Cauchyův vzorec

Cauchyův vzorec, pojmenovaný po Augustinovi-Louisovi Cauchyovi, je důležitý vztah v komplexní analýze. Vyjadřuje skutečnost, že holomorfní funkce definovaná na nějaké oblasti je i se svými derivacemi zcela určena svými hodnotami na hranici této oblasti. Navíc umožňuje hodnotu holomorfní funkce uvnitř oblasti i všechny její derivace v nějakém bodě spočítat, známe-li hodnoty funkce na hranici. Cauchyův vzorec ukazuje, že v komplexní analýze „diferenciace je ekvivalentní integraci“, což v reálné analýze neplatí.

Nechť Šablona:Math je otevřená podmnožina komplexní roviny Šablona:Math a předpokládejme, že uzavřený disk Šablona:Math je definován jako

$D=\{z:|z-z_0|\le r\}$

a je obsažen v Šablona:Math. Nechť Šablona:Math je holomorfní funkce a nechť Šablona:Math je kružnice orientovaná proti směru hodinových ručiček, která tvoří hranici Šablona:Math. Pak pro každé Šablona:Math ve vnitřku Šablona:Math

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-a}dz.$

Důkaz tohoto tvrzení používá Cauchyovu-Goursatovu větu a jako tato věta vyžaduje pouze, aby Šablona:Math byla komplexně diferencovatelná. Protože převrácená hodnota jmenovatele integrandu Cauchyho vzorce může být rozepsána jako mocninná řada v proměnné (Šablona:Math) - konkrétně když Šablona:Math, tak

$\frac{1}{z-a}=\frac{1+\frac{a}{z}+{\left(\frac{a}{z}\right)}^2+\cdots }{z}$

- z toho vyplývá, že holomorfní funkce jsou analytické, tj. mohou být psány jako konvergentní mocninné řady. Takže Šablona:Math je nekonečně diferencovatelná a

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{{(z-a)}^{n+1}}dz.$

Tento vzorec je někdy označován jako Cauchyův diferenciační vzorec.

Výše uvedená věta může být zobecněna. Kruh Šablona:Math může být nahrazen jakoukoli uzavřenou rektifikovatelnou křivkou v Šablona:Math, která jednou obtáčí bod Šablona:Math. Navíc stačí požadovat, aby Šablona:Math byla holomorfní v otevřené oblasti ohraničené cestou a spojitá na jejím uzávěru.

Ne každá spojitá funkce na hranici ovšem může být použita k vytvoření holomorfní funkce uvnitř této hranice, která odpovídá dané hraniční funkci.