Kvantový harmonický oscilátor

Lineární harmonický oscilátor

Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový popis lineárního oscilátoru

Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii $V(x)$, která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud potenciál $V(x)$ zapíšeme jako

$V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2,$

pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2.$

Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{m{\omega }^2}{2}{x}^2)\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x)$

Vynásobíme-li celou rovnici $\frac{2}{\hslash \omega }$ , získáme

$(-\frac{\hslash }{m\omega }\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{m\omega }{\hslash }{x}^2)\mathrm{\Psi }(x)=\frac{2E}{\hslash \omega }\mathrm{\Psi }(x)$

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny

$\xi =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x,$

$\lambda =\frac{2E}{\hslash \omega },$

rovnice přejde ve tvar

$(\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}-{\xi }^2)\mathrm{\Psi }(\xi )=-\lambda \mathrm{\Psi }(\xi ).$

Po úpravě dostaneme

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }(\xi )}{\partial {\xi }^2}+(\lambda -{\xi }^2)\mathrm{\Psi }(\xi )=0.$

Odhad řešení v asymptotické oblasti

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci $\mathrm{\Psi }$ budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce $\mathrm{\Psi }$ v asymptotické oblasti $(\xi \to \pm \mathrm{\infty })$. Pro hodnoty $\xi \to \pm \mathrm{\infty }$ lze $\lambda$ v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }(\xi )}{\partial {\xi }^2}-{\xi }^2\mathrm{\Psi }(\xi )=0.$

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde $A$ a $B$ jsou libovolné konstanty.

$\mathrm{\Psi }(\xi )=A\exp (\frac{-{\xi }^2}{2})+B\exp (\frac{{\xi }^2}{2}).$

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce $\mathrm{\Psi }$ diverguje pro $(\xi \to \pm \mathrm{\infty })$ a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

$\mathrm{\Psi }(\xi )\approx A\exp (\frac{-{\xi }^2}{2}).$

Zpřesnění řešení v oblasti konečných hodnot

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty $\xi$, znamená předpokládat, že $A$ na $\xi$ závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

$\mathrm{\Psi }(\xi )=A(\xi )\exp (-\frac{{\xi }^2}{2}),$

kde $A(\xi )$ je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu $\exp \left(\frac{-{\xi }^2}{2}\right)$ dosazením předešlé rovnice pro $\mathrm{\Psi }$ získáme novou rovnici pro neznámou funkci $A(\xi )$

$\frac{{\partial }^{2}A}{\partial {\xi }^2}-2\xi \frac{\partial A}{\partial \xi }+(\lambda -1)A=0.$

Funkci $A(\xi )$ budeme hledat ve tvaru mocninné řady

$A(\xi )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{\xi }^k.$

Neznámé koeficienty $a_k$ pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro $A$ do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami ${\xi }^k$. Po jistém úsilí získáme

$a_k=\frac{(1-\lambda )(5-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}{a}_0,$ pro k = 2, 4, 6, …

$a_k=\frac{(3-\lambda )(7-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}{a}_1,$ pro k = 3, 5, 7, …

Protože $A$ je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách $a_0$ a $a_1$. Ukazuje se však, že nekonečná řada $A(\mathrm{\Psi })$ se pro velká $\lambda$ chová jako funkce $\exp \left(\frac{-{\xi }^2}{2}\right)$ , což znamená, že vlnová funkce $\mathrm{\Psi }(\xi )=A(\xi )\exp (-\frac{{\xi }^2}{2})$ pro $(\xi \to \pm \mathrm{\infty })$ diverguje. Funkce $A(\xi )$ proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce $A(\xi )$ tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým $k$ platí $a_{k+2}=0$ a pro dosud libovolné $\lambda$ musí splňovat podmínku

$\lambda =2n+1,$ pro n=0,1,2,...

Energetické spektrum

S ohledem na předešlý vztah a rovnici $\lambda =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x$ dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru

$E_n=\frac{\hslash \omega \lambda }{2}=\hslash \omega \frac{2n+1}{2}=\hslash \omega (n+\frac{1}{2}).$

Srovnání klasického a kvantového oscilátoru

• Ze vztahu $E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$je patrné, že energie kvantového oscilátoru je kvantována, a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
• Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
• Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v případě lineárního harmonického oscilátoru v klasické mechanice stát nemůže.
• Rozdíl nastává i u možnosti určení kinetické a potenciální energie. U klasického oscilátoru je můžeme určit současně. V kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie nekomutují a nelze je tedy určit současně.
• Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
• Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde $E<V(x)$. Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.

Související články

• Potenciálová bariéra
• Potenciálová jáma
• Volná částice

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Ondřej Kučera: Srovnání klasického a kvantového oscilátoru, 19. prosince 2010 fai.utb.cz
• Simulační applet: Kvantový harmonický oscilátor, University of Colorado