Potenciálová bariéra

Potenciálová bariéra je ve fyzice takové rozložení potenciálu, že jeho hodnota je v určité (omezené) oblasti nenulová, přičemž se předpokládá, že je (aspoň přibližně) konstantní, konečná a kladná, zatímco mimo tuto oblast je hodnota potenciálu nulová.

V jednorozměrném případě je možné potenciálovou bariéru vyjádřit potenciálem

$V=\{\begin{array}{cc}0& \text{ pro }x<0\text{ a }x>a\\ V_0& \text{ pro }0<x<a\end{array}$

Potenciálová bariéra umožňuje v kvantové mechanice popsat základní vlastní vlastnosti kvantového tunelování.

Obdobným případem jako potenciálová bariéra je potenciálová jáma, kde je $V_0<0$.

Klasická mechanika

V klasické mechanice je pohyb částic povolený pouze v oblasti, kde je energie $E$ částice menší než hodnota potenciálu.

Pokud se tedy částice s $E<V_0$ pohybuje směrem k potenciálové bariéře, potom se může pohybovat pouze mimo oblast $0<x<a$. Do oblasti $0<x<a$ taková částice nemůže vstoupit. V klasické mechanice se tedy částice nacházející se v oblasti $x<0$ nemůže dostat do oblasti $x>a$ a naopak. Potenciálová bariéra je pro takové částice nepropustnou stěnou, která odděluje obě oblasti $x<0$ a $x>a$.

Částice s $E>V_0$ se může pohybovat i v oblasti $0<x<a$ a může tedy přes potenciálovou bariéru procházet. Tato klasická částice pohybující se směrem k potenciálové bariéře přes tuto bariéru vždy projde, tzn. nikdy nedojde k jejímu odrazu. K odrazu částice od bariéry dochází pouze v případě $E<V_0$.

Kvantová mechanika

V kvantové mechanice se vlastnosti částice určí řešením odpovídající Schrödingerovy rovnice.

Stacionární Schrödingerovu rovnici vyjádříme zvlášť pro oblast $x<0$, oblast $0<x<a$ a pro oblast $x>a$. V bodech $x=0$ a $x=a$ je přitom požadováno, aby vlnová funkce byla spojitá včetně své první derivace.

Schrödingerovy rovnice tedy mají tvar

$\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{d}}^2{\psi }_I}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_I=0& \text{ pre }x<0\\ \frac{{\mathrm{d}}^2{\psi }_{II}}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}{\psi }_{II}=0& \text{ pre }0<x<a\\ \frac{{\mathrm{d}}^2{\psi }_{III}}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_{III}=0& \text{ pre }x>a\end{array}$

Charakter řešení se liší podle toho, zda celková energie částice $E$ je větší, anebo menší než výška potenciálové bariéry $V_0$. Výslednou vlnovou funkci je možné rozdělit na několik částí. Především na dopadající vlnu, která souvisí s volnou částicí pohybující se směrem k potenciálové bariéře ze záporného nekonečna (tedy v oblasti $x<0$). Dále můžeme uvažovat, že vlna se po dopadu částečně odrazí a částečně bude procházet do oblasti $0<x<a$. V této oblasti postupuje vlna dále k bodu $x=a$, kde prochází druhým potenciálovým skokem, od kterého se opět částečně odráží a částečně projde do oblasti $x>a$. V oblasti x < 0 tedy bude výsledná vlna ${\psi }_I$ popsaná superpozicí dopadající vlny pohybující se ve směru $+x$ a odražené vlny pohybující se ve směru $-x$. Podobně v oblasti $0<x<a$ je možné výslednou vlnu ${\psi }_{II}$ popsat jako superpozici vln z obou směrů, zatímco v oblasti $x>a$ je možné najít pouze prošlou vlnu ${\psi }_{III}$ pohybující se ve směru $+x$.

Případ E>V₀

Když zavedeme konstanty

$k_I^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$

$k_{II}^2=\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}$

potom je možné obecné řešení vyjádřit ve tvaru

${\psi }_I=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}x}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{I}x}$

${\psi }_{II}=C{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{II}x}+D{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{II}x}$

${\psi }_{III}=F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}x}+G{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{I}x}$

Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient u členu popisujícího v oblasti $x>a$ pohyb směrem k bariéře nulový, tzn. $G=0$.

Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech $x=0$ a $x=a$, tzn. na základě rovností ${\psi }_I(0)={\psi }_{II}(0)$, ${\psi }_I^{\prime }(0)={\psi }_{II}^{\prime }(0)$, ${\psi }_{II}(a)={\psi }_{III}(a)$ a ${\psi }_{II}^{\prime }(a)={\psi }_{III}^{\prime }(a)$, dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty $A,B,C,D,F$, tzn.

$A+B=C+D$

$\mathrm{i}{k}_I(A-B)=\mathrm{i}{k}_{II}(C-D)$

$C{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{II}a}+D{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{II}a}=F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}a}$

$\mathrm{i}{k}_{II}(C{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{II}a}-D{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{II}a})=\mathrm{i}{k}_{I}F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}a}$

Pravděpodobnost průchodu kvantové částice skrz bariéru je možné pro $E>V_0$ vyjádřit vztahem

$T={\left|\frac{F}{A}\right|}^2=\frac{1}{1+\frac{1}{4}{(\sqrt{\frac{E}{V_0-E}}+\sqrt{\frac{V_0-E}{E}})}^2{\sinh }^2\sqrt{\frac{8m(V_0+E)}{{\hslash }^2}}a}$

Pravděpodobnost odrazu od bariéry se rovná

$R={\left|\frac{B}{A}\right|}^2=1-T$

Pro libovolně široký a vysoký potenciálový val je tato pravděpodobnost nenulová. Tato pravděpodobnost však s rostoucí šířkou valu a rostoucím rozdílem energií $V_{-}E$ velmi rychle klesá. Z tohoto důvodu je tedy při makroskopických procesech tento jev zanedbatelný a není potřebné ho uvažovat.

Případ E<V₀

Když zavedeme konstanty

$k_I^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$

$k_{II}^2=\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}$

potom je obecné řešení možné vyjádřit ve tvaru

${\psi }_I=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}x}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{I}x}$

${\psi }_{II}=C{\mathrm{e}}^{-k_{II}x}+D{\mathrm{e}}^{k_{II}x}$

${\psi }_{III}=F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}x}+G{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{I}x}$

Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient členu popisujícího v oblasti $x>a$ pohyb směrem k bariéře nulový, tzn. $G=0$.

Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech $x=0$ a $x=a$, tzn. na základě rovnosti ${\psi }_I(0)={\psi }_{II}(0)$, ${\psi }_I^{\prime }(0)={\psi }_{II}^{\prime }(0)$, ${\psi }_{II}(a)={\psi }_{III}(a)$ a ${\psi }_{II}^{\prime }(a)={\psi }_{III}^{\prime }(a)$, dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty $A,B,C,D,F$, tzn.

$A+B=C+D$

$\mathrm{i}{k}_I(A-B)=-k_{II}(C-D)$

$C{\mathrm{e}}^{-k_{II}a}+D{\mathrm{e}}^{k_{II}a}=F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}a}$

$-k_{II}(C{\mathrm{e}}^{-k_{II}a}-D{\mathrm{e}}^{k_{II}a})=\mathrm{i}{k}_{I}F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}a}$

Pravděpodobnost průchodu částice bariérou je možné vyjádřit jako

$T==\frac{1}{1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(k_{II}a)}{4E(V_0-E)}}$

Částice dopadající na potenciálový val se tedy podle kvantové mechaniky nemusí vždy odrazit, ale může bariérou s určitou pravděpodobností projít. Průchod částice bariérou je čistě kvantový jev, se kterým se v klasické mechanice nesetkáme. Tento jev se označuje jako tunelový jev anebo kvantové tunelování.