Volná částice

Jako volná částice se ve fyzice označuje taková částice, na kterou nepůsobí žádné vazby. V klasické fyzice to znamená, že na částici nepůsobí žádné síly.

Volná částice v klasické fyzice

V klasické fyzice je volná částice charakterizována konstantní rychlostí. Hybnost volné částice se také nemění a je určena jako

$𝐩=m𝐯$

Energii volné částice lze vyjádřit jako

$E=\frac{1}{2}m{v}^2$,

kde $m$ je hmotnost částice a $𝐯$ je vektor její rychlosti.

Volná částice v nerelativistické kvantové teorii

V nerelativistické kvantové mechanice lze volnou částici popsat Schrödingerovou rovnicí ve tvaru

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐫,t)=\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (𝐫,t)$

Řešení této rovnice pro určitou hybnost má tvar rovinné vlny

$\psi (𝐫,t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$

s podmínkou

$\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}=\hslash \omega$,

kde $𝐫$ je polohový vektor, $t$ je čas, $𝐤$ je vlnový vektor a $\omega$ je úhlová frekvence.

Částici, která je popsána uvedenou vlnovou funkcí, nelze v důsledku relací neurčitosti lokalizovat. Při přesně dané hodnotě hybnosti se totiž částice může nacházet v libovolném bodě prostoru se stejnou pravděpodobností. Vzhledem k tomu, že pravděpodobnost nalezení částice v celém (nekonečném) prostoru musí být rovna jedné, tzn. $\int {\psi }^{\star }\psi \mathrm{d}V=1$, je pro konkrétní hodnotu hybnosti problém normalizovat vlnovou funkci.

Pro střední hodnotu hybnosti v uvedeném případě platí

$⟨𝐩⟩=⟨\psi |-\mathrm{i}\hslash \mathrm{\nabla }|\psi ⟩=\hslash 𝐤$

Střední hodnota energie je pak udána jako

$⟨E⟩=⟨\psi |\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi ⟩=\hslash \omega$

Dosazením z předchozích vztahů do omezující podmínky lze získat vztah mezi energií a hybností pro nerelativistickou hmotnou částici, tzn.

$⟨E⟩=\frac{⟨p{⟩}^2}{2m}$,

kde $p=|𝐩|$.

Grupová rychlost vlny je

$v_g=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p}=v$,

kde $v$ je klasická rychlost částice.

Fázová rychlost vlny je určena jako

$v_p=\frac{\omega }{k}=\frac{E}{p}=\frac{p}{2m}=\frac{v}{2}$

V obecném případě nemusí mít volná částice určitou hybnost nebo energii. V takovém případě lze vlnovou funkci volné částice vyjádřit jako superpozici vlastních funkcí hybnosti volné částice, tedy

$\psi (𝐫,t)=\int A(𝐤){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}\mathrm{d}𝐤$,

kde integrace probíhá přes všechna $𝐤$.

V obecném případě není hybnost částice určena jednou hodnotou, takže částici je možné lokalizovat (viz vlnový balík).

Relativistická volná částice

Kvantová teorie umožňuje popsat také relativistické volné částice, přičemž používá k jejich popisu různé rovnice (podle druhu částice), např.

• Kleinova–Gordonova rovnice - popisuje volné částice bez spinu a elektrického náboje
• Diracova rovnice - popisuje volnou částici se spinem $\frac{1}{2}$ a elektrickým nábojem (tedy elektron)

Související články

• Částice