Věta o hlavních osách

V geometrii a lineární algebře je hlavní osa určitá přímka v Eukleidovském prostoru související s elipsoidem nebo hyperboloidem zobecňující hlavní a vedlejší osu elipsy nebo hyperboly. Věta o hlavních osách říká, že hlavní osy jsou navzájem kolmé, a dává konstruktivní postup pro jejich nalezení.

Matematicky je věta o hlavních osách zobecněním metody doplnění na čtverec z elementární algebry. V lineární algebře a funkcionální analýze je věta o hlavních osách geometrickým protějškem spektrální věty. Má aplikace pro statistiku analýzy hlavních komponent a pro singulární rozklad. Ve fyzice je věta o hlavních osách základem pro studium momentu hybnosti a dvojlomu.

Motivace

Následující rovnice v Kartézské rovině ${ℝ}^2:$

$\begin{array}{cc}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}& =1\\ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}& =1\end{array}$

definují elipsu a hyperbolu. V obou případech jsou osy Šablona:Mvar a Šablona:Mvar hlavními osami. To je snadno vidět, pokud v obou výrazech nejsou žádné smíšené členy obsahující součin Šablona:Mvar. Pro rovnice jako $5x^2+8xy+5y^2=1$ je však situace složitější.

V tomto případě je třeba nějaká metoda pro určení, zda se jedná o elipsu nebo hyperbolu. Základní pozorování je, že pokud doplněním na čtverec lze kvadratický výraz převést na součet dvou čtverců, pak rovnice definuje elipsu, a pokud jej lze převést na rozdíl dvou čtverců, pak reprezentuje hyperbolu:

$\begin{array}{cc}u(x,y{)}^2+v(x,y{)}^2& =1\text{(elipsa)}\\ u(x,y{)}^2-v(x,y{)}^2& =1\text{(hyperbola)}.\end{array}$

V našem příkladě je tedy otázka, jak na absorbovat koeficient smíšeného členu Šablona:Math do funkcí Šablona:Mvar a Šablona:Mvar. Tento problém je formálně podobný problému diagonalizace matice, kde se snažíme najít vhodný souřadný systém, ve kterém matice lineární transformace bude diagonální. Prvním krokem je najít matici, na kterou bude možné uplatnit techniku diagonalizace.

Trikem je zapsat kvadratickou formu jako

$5x^2+8xy+5y^2=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={𝐱}^{\mathsf{\text{T}}}𝐀𝐱$

kde smíšený člen je rozdělen na dvě stejné části. Matice Šablona:Math ve výše uvedeném rozkladu je symetrická. Speciálně podle spektrální věty má reálná vlastní čísla a je diagonalizovatelná ortogonální maticí (ortogonálně diagonalizovatelná).

Pro ortogonální diagonalizaci matice Šablona:Math musíme nejdřív najít její vlastní čísla, a pak najít ortonormální vlastní bázi. Výpočet ukáže, že vlastní čísla matice Šablona:Math jsou

${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=9$

a odpovídající vlastní vektory

${𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),{𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$

Jejich vydělením jejich délkou získáme ortonormální vlastní bázi:

${𝐮}_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right),{𝐮}_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right).$

Matice Šablona:Math je nyní ortogonální matice, protože má ortonormální sloupce, a matice Šablona:Math je diagonalizovatelná:

$𝐀={𝐒𝐃𝐒}^{-1}={𝐒𝐃𝐒}^{\mathsf{\text{T}}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right).$

To platí pro tento problém „diagonalizace“ kvadratické formy s využitím pozorování, že

$\begin{array}{cc}5x^2+8xy+5y^2& ={𝐱}^{\mathsf{\text{T}}}𝐀𝐱\\ & ={𝐱}^{\mathsf{\text{T}}}\left({𝐒𝐃𝐒}^{\mathsf{\text{T}}}\right)𝐱\\ & ={\left({𝐒}^{\mathsf{\text{T}}}𝐱\right)}^{\mathsf{\text{T}}}𝐃\left({𝐒}^{\mathsf{\text{T}}}𝐱\right)\\ & =1{\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)}^2+9{\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)}^2.\end{array}$

Rovnice $5x^2+8xy+5y^2=1$ je tedy rovnicí elipsy, protože její levou stranu lze zapsat jako součet dvou čtverců.

Je lákavé zjednodušit tento výraz odstraněním faktorů 2. Je však důležité to nedělat. Hodnoty

$c_1=\frac{x-y}{\sqrt{2}},c_2=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$

mají geometrický význam. Určují ortonormální souřadný systém na ${ℝ}^2.$ Jinými slovy jsou získány z původních souřadnic použitím rotace (případně uplatnění zrcadlení). Díky tomu můžeme souřadnice Šablona:Math a Šablona:Math použít k výrokům o délkách a úhlech (především délkách), které by při jiné volbě souřadnic (například při změně měřítka) byly obtížnější. Například maximální vzdálenost od počátku souřadnicového systému na elipse

$c_1^2+9c_2^2=1$

se objeví, když Šablona:Math, tedy v bodech Šablona:Math. Podobně minimální vzdálenost je tam, kde Šablona:Math.

Nyní je možné zjistit hlavní a vedlejší osu této elipsy. Jsou to právě jednotlivé vlastní prostory matice Šablona:Math, protože se jedná o místa, kde Šablona:Math nebo Šablona:Math. Symbolicky lze hlavní osy zapsat jako lineární obaly vektorů Šablona:Math:

$E_1=\mathrm{span}\left(\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\right),E_2=\mathrm{span}\left(\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\right).$

Shrnutí:

• Jde o rovnici elipsy, protože obě vlastní čísla jsou kladná. (Pokud by jedno bylo kladné a druhé záporné, šlo by o hyperbolu.)
• Hlavní osy jsou přímky, kterými procházejí vlastní vektory.
• Minimální a maximální vzdálenost od počátku souřadnicového systému lze odečíst z rovnice v diagonálním tvaru.

Pomocí těchto informací je možné získat jasný geometrický obraz elipsy: například ji vykreslit do grafu.

Formální tvrzení

Věta o hlavních osách se zabývá kvadratickými formami v ${ℝ}^n,$ což jsou homogenní polynomy stupně 2. Libovolnou kvadratickou formu lze zapsat jako

$Q(𝐱)={𝐱}^{\mathsf{\text{T}}}𝐀𝐱$

kde Šablona:Math je symetrická matice.

První část věty je obsažena v následujících tvrzeních zaručených spektrální větou:

• Vlastní čísla matice Šablona:Math jsou reálná.
• Matice Šablona:Math je diagonalizovatelná, a vlastní prostory matice Šablona:Math jsou vzájemně ortogonální.

Konkrétně je matice Šablona:Math ortogonálně diagonalizovatelná, protože můžeme vzít bázi každého vlastního prostoru a pro každý vlastní prostor odděleně aplikovat Gram-Schmidtův ortogonalizační proces pro získání ortonormální vlastní báze.

Pro druhou část předpokládejme, že vlastní čísla matice Šablona:Math jsou Šablona:Math (případně opakovaná podle jejich algebraické násobnosti) a odpovídající ortonormální vlastní báze je Šablona:Math. Pak,

$𝐜=⟨{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_n{⟩}^{\mathsf{\text{T}}}𝐱,$

a

$Q(𝐱)={\lambda }_1{c}_1^2+{\lambda }_2{c}_2^2+\dots +{\lambda }_n{c}_n^2,$

kde Šablona:Mvar je Šablona:Mvar-té složka Šablona:Math. Navíc,

Šablona:Mvar-tá hlavní osa je přímka určená rovností Šablona:Math pro všechny Šablona:Math. Šablona:Mvar-tou hlavní osou je lineární obal vektoru Šablona:Math.

Odkazy

Reference

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Sylvesterův zákon setrvačnosti