Otočení

Geometrické otočení.

V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.

Otočení v rovině kolem středu $S$ o (orientovaný) úhel $\alpha$ je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu $A\ne S$ bod $A^{\prime }$, pro který platí $|SA|=|S{A}^{\prime }|$ a velikost úhlu $\mathrm{\angle }AS{A}^{\prime }$ je $\alpha$. Obrazem středu otočení $S$ je opět bod $S$.

Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.

Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.

Matice rotace

Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel $\alpha$ je dána vztahy

$x^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha$

$y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha$.

Čárkované souřadnice $x^{\prime },y^{\prime }$ jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice $x,y$. Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel $\alpha$ kolem osy $z$ je dáno vztahem

$x^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha$

$y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha$

$z^{\prime }=z$

Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru ${𝐱}^{\prime }=A𝐱$ kde $A$ je ortogonální matice.

Matice rotace kolem osy $𝐧=(n_1,n_2,n_3{)}^T$, kde $n_1^2+n_2^2+n_3^2=1$, o úhel $\alpha$ je

$\begin{array}{cc}A& =\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha +n_1^2(1-\cos \alpha )& n_1{n}_2(1-\cos \alpha )-n_3\sin \alpha & n_1{n}_3(1-\cos \alpha )+n_2\sin \alpha \\ n_1{n}_2(1-\cos \alpha )+n_3\sin \alpha & \cos \alpha +n_2^2(1-\cos \alpha )& n_2{n}_3(1-\cos \alpha )-n_1\sin \alpha \\ n_1{n}_3(1-\cos \alpha )-n_2\sin \alpha & n_2{n}_3(1-\cos \alpha )+n_1\sin \alpha & \cos \alpha +n_3^2(1-\cos \alpha )\end{array}\right)\\ & \\ & =(1-\cos \alpha )𝐧{𝐧}^T+\cos \alpha I+\sin \alpha \left(\begin{array}{ccc}0& -n_3& n_2\\ n_3& 0& -n_1\\ -n_2& n_1& 0\end{array}\right),\end{array}$

kde $I$ jednotkovou matici řádu tři. Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu $SO(3)$.

Rotace souřadnic

Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud $x_1,\dots ,x_n$ jsou staré souřadnice a ${x_1}^{\prime },\dots ,{x_n}^{\prime }$ nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí

$\sum x_i^2=\sum ({x_i}^{\prime }{)}^2.$

Rotace souřadnic o úhel $\phi$ kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.

Související články

• Shodné zobrazení
• Eulerovy úhly

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat