Ortogonální souřadnice

Šablona:Upravit Šablona:Neověřeno Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic $𝐪$, jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti $\mathrm{d}{s}^2$ může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

$\mathrm{d}{s}^2=\sum _{k=1}^D{\left(h_k\mathrm{d}{q}_k\right)}^2$,

kde $D$ je dimenze prostoru a funkce $h_k(𝐪)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{g_{kk}(𝐪)}$ (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru $g_{ik}(𝐪)$.

Vektory a integrály

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice $\mathrm{d}{q}_m$ jako $\mathrm{d}{s}_m=h_k\mathrm{d}{q}_k$. Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru $𝐫$ jako

$\mathrm{d}𝐫=\sum _{k=1}^D{h}_k\mathrm{d}{q}_k{𝐞}_k$,

kde ${𝐞}_k$ jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic $q_k$. Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

$𝐀\cdot 𝐁=\sum _{k=1}^D{A}_k{B}_k$

Tedy např. integrál po křivce $𝒞$ má v ortogonálních souřadnicích tvar

$\underset{𝒞}{\int }𝐅\cdot \mathrm{d}𝐫=\sum _{k=1}^D\underset{𝒞}{\int }{F}_k{h}_k\mathrm{d}{q}_k$,

kde $F_k$ je složka vektoru $𝐅$ ve směru $k$-tého jednotkového vektoru ${𝐞}_k$

$F_k\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{𝐞}_k\cdot 𝐅$

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát $\mathrm{d}P=\mathrm{d}{s}_i\mathrm{d}{s}_j=h_i{h}_j\mathrm{d}{q}_i\mathrm{d}{q}_j$, kde $i\ne j$, a pro infinitezimální element objemu $\mathrm{d}V=\mathrm{d}{s}_i\mathrm{d}{s}_j\mathrm{d}{s}_k=h\mathrm{d}{q}_i\mathrm{d}{q}_j\mathrm{d}{q}_k$, kde $h\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{h}_i{h}_j{h}_k$ a $i\ne j\ne k$. Např. integrál přes plochu $𝒮$ ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar

$\underset{𝒮}{\int }𝐅\cdot \mathrm{d}𝐒=\underset{𝒮}{\int }{F}_1{h}_2{h}_3\mathrm{d}{q}_2\mathrm{d}{q}_3+\underset{𝒮}{\int }{F}_2{h}_3{h}_1\mathrm{d}{q}_3\mathrm{d}{q}_1+\underset{𝒮}{\int }{F}_3{h}_1{h}_2\mathrm{d}{q}_1\mathrm{d}{q}_2$

Diferenciální operátory ve třech rozměrech

Gradient lze vyjádřit jako

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=\frac{{𝐞}_1}{h_1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}+\frac{{𝐞}_2}{h_2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}+\frac{{𝐞}_3}{h_3}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_3}$

Laplaceův operátor má tvar

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{h_2{h}_3}{h_1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{h_3{h}_1}{h_2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{h_1{h}_2}{h_3}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_3}\right)]$

Operátor divergence se zapíše jako

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(F_1{h}_2{h}_3\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(F_2{h}_3{h}_1\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(F_3{h}_1{h}_2\right)]$

kde $F_k$ je $k$-tá složka vektoru $𝐅$.

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\frac{{𝐞}_1}{h_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_2}\left(h_3{F}_3\right)-\frac{\partial }{\partial q_3}\left(h_2{F}_2\right)]+\frac{{𝐞}_2}{h_3{h}_1}[\frac{\partial }{\partial q_3}\left(h_1{F}_1\right)-\frac{\partial }{\partial q_1}\left(h_3{F}_3\right)]+\frac{{𝐞}_3}{h_1{h}_2}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(h_2{F}_2\right)-\frac{\partial }{\partial q_2}\left(h_1{F}_1\right)]$

Příklady

Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic

• Kartézská soustava souřadnic (dvourozměrná)
• Polární soustava souřadnic
• Eliptická soustava souřadnic
• Parabolická soustava souřadnic (dvourozměrná)
• Bipolární soustava souřadnic

Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic

• Kartézská soustava souřadnic (třírozměrná)
• Sférická soustava souřadnic
• Válcová soustava souřadnic
• Eliptická válcová soustava souřadnic

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Článek o ortogonálních souřadnicích na MathWorld Šablona:En