Metrický tenzor

Šablona:Upravit V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na tečném bandlu hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z tečného prostoru reálné číslo.

Dosadíme-li dva různé vektory U,V, realizuje tento přepis jejich skalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektory V, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru V. Pokud pro každý vektor V a každý bod variety je toto číslo kladné, označujeme metriku jako Riemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako pseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro Obecnou teorii relativity.

Metrická forma

Dále využíváme souřadnicový zápis vektorů. Kvadrát vzdálenosti dvou bodů je metrickým tenzorem $g_{ij}$ dán v závislosti na souřadnicích v diferenciálním tvaru předpisem:

$\mathrm{d}{s}^2=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j$,

kde využíváme Einsteinovu sumační konvenci, tedy sčítání přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. Tento výraz bývá označován jako základní (nebo metrická) forma daného metrického prostoru.

Předpokládejme, že $x_i$ představují kartézské souřadnice v $n$-rozměrném eukleidovském prostoru. V takovém případě lze s použitím Einsteinova sumačního pravidla psát

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}_i\mathrm{d}{x}^i$

Použijeme-li v tomto prostoru křivočaré souřadnice ${\xi }_j$, tzn. $\mathrm{d}{x}_i=\frac{\partial x_i}{\partial {\xi }^j}\mathrm{d}{\xi }^j$, lze metrickou formu přepsat na tvar

$\mathrm{d}{s}^2=\frac{\partial x_i}{\partial {\xi }^j}\frac{\partial x_i}{\partial {\xi }^k}\mathrm{d}{\xi }^j\mathrm{d}{\xi }^k$

Vyjádříme-li metrický tenzor jako

$g_{ij}=\frac{\partial x_k}{\partial {\xi }^i}\frac{\partial x_k}{\partial {\xi }^j}=\frac{\partial x_1}{\partial {\xi }^i}\frac{\partial x_1}{\partial {\xi }^j}+\frac{\partial x_2}{\partial {\xi }^i}\frac{\partial x_2}{\partial {\xi }^j}+\cdots +\frac{\partial x_n}{\partial {\xi }^i}\frac{\partial x_n}{\partial {\xi }^j}$,

pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako

$\mathrm{d}{s}^2=g_{jk}\mathrm{d}{\xi }^j\mathrm{d}{\xi }^k$

Např. délku křivky spočteme jako:

$s=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t,$

kde $t$ je parametr křivky. Takto se délka křivky zpravidla definuje pouze pokud je člen pod odmocninou podél celé křivky kladný.

Kovariantní tenzor $g_{ij}$ bývá také vyjadřován jako

$g_{ij}=({𝐞}_i,{𝐞}_j)$,

kde ${𝐞}_i,{𝐞}_j$ představují bázi.

Podobně lze pro kontravariantní složky metrického tenzoru psát

$g^{ij}=({𝐞}^i,{𝐞}^j)=\frac{\partial {\xi }^i}{\partial x_k}\frac{\partial {\xi }^j}{\partial x_k}$

a pro smíšené složky

$g_j^i=({𝐞}^i,{𝐞}_j)=\frac{\partial {\xi }^i}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial {\xi }^j}={\delta }_j^i$,

kde ${\delta }_j^i$ je Kroneckerovo delta a ${𝐞}^i,{𝐞}_i$ jsou prvky sdružených bází.

Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností

Velikost vektoru je tedy dána vztahem

$V=\sqrt{g_{ij}{V}^i{V}^j}.$

Úhel dvou vektorů je zpravidla definován pomocí kosinové věty (jelikož kosinus úhlu sevřeného dvěma vektory je podílem skalárního součinu těchto vektorů a součinu velikostí těchto vektorů) přepisem

$\cos \vartheta =\frac{g_{ij}{V}^i{U}^j}{\sqrt{g_{ij}{V}^i{V}^j}\sqrt{g_{ij}{U}^i{U}^j}},$

jsou-li výrazy pod odmocninou kladné.

Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem

Metrický tenzor zajišťuje rovněž přechod mezi tečným prostorem a kotečným prostorem variety. (Často se lze setkat s jiným popisem, totiž že metrický tenzor umožňuje transformovat vektorové a tenzorové veličiny mezi kovariantní a kontravariantní bází daného prostoru. Kovariantní a kontravariantní komponenty tenzorů jsou odlišeny polohou indexů značících složky tenzoru. Odtud zvedání a snižování indexů.) To mj. znamená, že se prostřednictvím metrického tenzoru zvedají a snižují indexy vektorů a tenzorů, a to následujícím způsobem:

Definujeme kontravariantní vyjádření metrického tenzoru vztahy

$g^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i$,

kde ${\delta }_k^i$ je kroneckerovo delta. Složky $g_{ij}$ známe, kdežto složky $g^{ij}$ jsou touto soustavou jednoznačně určeny. Potom indexy tenzoru (m+n)-tého řádu ${T^{i_1\dots i_m}}_{i_1\dots i_n}$ zvyšujeme či snižujeme následujícím způsobem:

$g^{i_{m+1}{i}_k}{T^{i_1\dots i_m}}_{i_1\dots i_{k-1}{i}_k{i}_{k+1}\dots i_n}={T^{i_1\dots i_m{i}_{m+1}}}_{i_1\dots i_{k-1}{i}_{k+1}\dots i_n},$

$g_{i_{n+1}{i}_k}{T^{i_1\dots i_{k-1}{i}_k{i}_{k+1}\dots i_m}}_{i_1\dots i_n}={T^{i_1\dots i_{k-1}{i}_{k+1}\dots i_m}}_{i_1\dots i_n{i}_{n+1}}.$

Vlastnosti

Metrický tenzor je symetrický, tzn.

$g_{ij}=g_{ji}$

$g^{ij}=g^{ji}$

Související články

• Metrika
• Signatura metriky