Kosinová věta

Úhly v $\mathrm{△}ABC$ – Šablona:Math (u vrcholu Šablona:Math), Šablona:Math (u vrcholu Šablona:Math), a Šablona:Math (u vrcholu Šablona:Math) jsou proti stranám Šablona:Math, Šablona:Math, Šablona:Math.

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran (nebo pro výpočet délky strany, známe-li dvou zbylých stran a úhel mezi nimi). Podle kosinové věty pro každý rovinný $\mathrm{△}ABC$ s vnitřními úhly $\alpha ,\beta ,\gamma$ a stranami $a,b,c$ platí:

$\begin{array}{cc}{a}^2& =b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$

Pythagorova věta je speciální případ kosinové věty, protože pro pravý úhel platí $\cos 90^{\circ }=0$, takže například pro $\gamma =90$ získáme $c^2=a^2+b^2$. Alternativní větou pro obecný trojúhelník je sinová věta.

Historie

Ačkoliv v Eukleidově době ještě nebyl znám pojem kosinus, popisují jeho Základy ze 3. století př. n. l. ranou geometrickou větu, která je téměř ekvivalentní zde popisované kosinové větě. Varianty pro tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky (odpovídající zápornému a kladnému výsledku funkce kosinus) jsou řešeny samostatně v Knize druhé v částech Úloha XII a XIII. Protože goniometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla) v Eukleidově době ještě neexistovaly, jsou tato tvrzení založena na geometrických vztazích:

Výše citované Eukleidovo tvrzení lze zapsat pro tupoúhlý $\mathrm{△}ABC$, jenž má tupý úhel $\mathrm{\angle }BAC$ a z vrcholu $B$ je vedena kolmice $CD$ na prodlouženou stranu $BA$, takto:

$|BC{|}^2=|BA{|}^2+|AC{|}^2+2|BA||AD|$

Eukleidovy Základy připravily cestu k pozdějšímu objevu kosinové věty. V 15. století uvedl perský matematik a astronom Džamšid al-Kaši první znění kosinové věty ve formě vhodné pro moderní použití při triangulaci, k čemuž poskytl i přesné trigonometrické tabulky. V roce 2020 je ve Francii kosinová věta stále označována jako Formule d'Al-Kashi.

V západním světě zpopularizoval kosinovou větu v 16. století francouzský matematik François Viète. Na počátku 19. století umožnila moderní algebraická notace zapsat kosinovou větu v její současné symbolické podobě.

Důkaz

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany $a$ trojúhelníku $ABC$ je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu $\alpha$ (ostrý, pravý a tupý):

• Je-li $\alpha$ ostrý a bod $P$ patou výšky $v_c$, pak bod $P$ náleží straně $c$ (pokud ne, prohodíme označení bodů $B$ a $C$). Vzdálenost paty $P$ od bodu $A$ označíme $u$. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^2=v_c^2+(c-u{)}^2$.

Protože dále platí, že $u=b\cos \alpha$ a $v_c=b\sin \alpha$, lze psát

$a^2=(b\cdot \sin \alpha {)}^2+(c-b\cdot \cos \alpha {)}^2$,

$a^2=b^2\cdot {\sin }^2\alpha +c^2-2bc\cdot \cos \alpha +b^2\cdot {\cos }^2\alpha$,

$a^2=b^2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$,

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$.

• Je-li $\alpha$ pravý, pak $\cos \alpha =0$ a podle Pythagorovy věty platí

$a^2=b^2+c^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$.

• Je-li $\alpha$ tupý a bod $P$ patou výšky $v_c$, pak bod $P$ leží mimo $c$. Vzdálenost paty $P$ od bodu $A$ označíme $u$. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^2=v_c^2+(c+u{)}^2$.

Protože dále platí, že $u=b\cos (\pi -\alpha )$ a $v_c=b\sin (\pi -\alpha )$, dostáváme

$a^2=(b\cdot \sin (\pi -\alpha ){)}^2+(b\cdot \cos (\pi -\alpha )+c{)}^2$,

$a^2=(b\cdot \sin \alpha {)}^2+(-b\cdot \cos \alpha +c{)}^2$,

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$.

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

$\begin{array}{cc}\cos a& =\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha \\ \cos b& =\cos a\cos c+\sin a\sin c\cos \beta \\ \cos c& =\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \end{array}$

Ortodroma

Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

$\begin{array}{cc}\cos e& =\cos (90^{\circ }-{\varphi }_1)\cos (90^{\circ }-{\varphi }_2)+\sin (90^{\circ }-{\varphi }_1)\sin (90^{\circ }-{\varphi }_2)\cos \mathrm{\Delta }\lambda ,\\ & =\sin {\varphi }_1\sin {\varphi }_2+\cos {\varphi }_1\cos {\varphi }_2\cos \mathrm{\Delta }\lambda ,\end{array}$

kde

• ${\varphi }_1,{\varphi }_2$ jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst,
• $\mathrm{\Delta }\lambda$ je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst,
• $e$ je ortodroma jako úhel mezi spojnicemi poměřovaných míst a středu Země.

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako $d=e\cdot r$, je-li $e$ v radiánech, resp. $d=\frac{2\pi e}{360}\cdot r$, je-li $e$ ve stupních.

Související články

• Kosinus
• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie
• Sférická trigonometrie
• Kosinová pravidla

Odkazy

Související články

• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie
• Triangulace

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat