Polární soustava souřadnic

Šablona:Upravit Šablona:Neověřeno Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná $\phi$) udává úhel spojnice tohoto bodu a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa $x$ kartézských souřadnic).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálenost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích

Bod v polární soustavě souřadnic

Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: Šablona:Barva a Šablona:Barva

Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

$x=r\cos \phi$

$y=r\sin \phi$

Převod kartézských souřadnic na polární:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu $\phi \in ⟨0,\frac{\pi }{2}⟩$ - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

$\mathrm{arctg2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),& \text{je-li }(x>0)\wedge (y>0),\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+\pi ,& \text{je-li }(x<0),\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+2\pi ,& \text{je-li }(x>0)\wedge (y<0),\end{array}$

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\phi =\mathrm{arctg2}(y,x)$

Vlastnosti

Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

$h_r=1h_{\phi }=r$.

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\phi }^2,$

tedy délka křivky obecně jako

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2+r^2{\left(\frac{\mathrm{d}\phi (t)}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\mathrm{d}t,$

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od $t_1$ do $t_2$.

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

$\mathrm{d}S=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi ,$

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Christofelovy koeficienty Levi-Civitovy konexe generované Euklidovskou metrikou jsou dány vztahy

${{\mathrm{\Gamma }}^r}_{rr}={{\mathrm{\Gamma }}^{\phi }}_{\phi \phi }={{\mathrm{\Gamma }}^r}_{r\phi }={{\mathrm{\Gamma }}^r}_{\phi r}={{\mathrm{\Gamma }}^{\phi }}_{rr}=0$

${{\mathrm{\Gamma }}^{\phi }}_{\phi r}={{\mathrm{\Gamma }}^{\phi }}_{r\phi }=\frac{1}{r}$

${{\mathrm{\Gamma }}^r}_{\phi \phi }=-r$

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}\widehat{𝒓}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi }\hat{\mathit{\phi }}$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{r}\frac{\partial \left(r{A}_r\right)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }$

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

$\mathrm{\Delta }𝐀=(\mathrm{\Delta }{A}_r-\frac{A_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi })\widehat{𝒓}+(\mathrm{\Delta }{A}_{\phi }-\frac{A_{\phi }}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \phi })\hat{\mathit{\phi }}$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Polární souřadnice na MathWorldu