Algebraický výraz

Algebraický výraz je každý matematický zápis, který tvoří smysluplný vztah mezi matematickými symboly a značkami, kterými mohou být čísla (konstanty), proměnné, matematické operace (např. sčítání a násobení), funkce a oddělovače (např. závorky).

Definice

Nechť $a_0,a_1,a_2,...,a_n$ jsou reálná čísla.

Algebraický výraz $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$ se nazývá mnohočlen (polynom), čísla $a_0,a_1,a_2,...,a_n$ koeficienty mnohočlenu (polynomu) a $x$ proměnná. Stručný zápis je $\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$.

Obory algebraických výrazů

• polynomy (česky mnohočleny) – s operacemi sčítaní, odčítaní, násobení, mocnění nezáporným celým číslem; koeficienty polynomů mohou být čísla z některého oboru čísel: (celá čísla, racionální čísla,...),
• racionální lomené výrazy – (rozšíření polynomů o operaci dělení) s operacemi sčítaní, odčítaní, násobení, dělení a mocnění celým číslem,
• racionální lomené výrazy s odmocninami – (rozšíření racionálních lomených výrazů o mocniny s racionálními exponenty, kde pro každé kladné reálné číslo $a$, pro každé celé číslo $m$ a pro každé přirozené číslo $n$ je definována mocnina s racionálním exponentem vztahem $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$) s operacemi sčítaní, odčítaní, násobení, dělení a mocnění racionálním číslem.

Úpravy algebraických výrazů

Šablona:Viz též Úprava algebraického výrazu $V_1$ (zjednodušení) je jeho vyjádření jiným (jednodušším) algebraickým výrazem $V_2$, pro který za podmínek, kdy mají provedené úpravy smysl, platí: $V_2$ = $V_1$.

Pro polynomy a celistvé výrazy (algebraický výraz, který nemá ve jmenovateli proměnnou) jsou nejčastěji používané úpravy: krácení výrazu a uvedení na společného jmenovatele. Jednodušším výrazem je výraz s menším počtem členů, závorek, proměnných apod.

Zjednodušení algebraických výrazů

Šablona:Viz též Pro kvadratický dvojčlen a trojčlen platí:

$f(x)=(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2=(a+b)(a+b)$;

$f(x)=(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)(a-b)$;

$g(x)=(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$;

$g(x)=(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Rozklad výrazu na součin

Šablona:Viz též Rozklad výrazu na součin je vyjádření daného výrazu jako součin jednodušších, většinou již dále nerozložitelných, výrazů.

Lze použít:

• Viètovy vzorce, nebo diskriminant (pro kvadratický dvojčlen),
• Vytýkání, kdy před závorku vytkneme výraz, který se vyskytuje ve všech členech mnohočlenu (polynomu).

Příklad: $x(2-y)+3(2-y)-z(2-y)=(2-y)(x+3-z)$

Rozdělení algebraických výrazů

Šablona:Viz též Algebraické výrazy lze dělit:

• racionální algebraické výrazy, jež neobsahují odmocniny ($3a+b^2$; $\frac{7x+2}{3x^2+1}$); $a,b,x\in R$
• iracionální algebraické výrazy, které obsahují odmocniny

$2\sqrt[]{2}+y$ ; $\sqrt{a+1}-\sqrt{b}$; $x\geqq 0,y\in R,a\geqq -1,b\geqq 0$ Při úpravách iracionálních algebraických výrazů se využívají poznatky o odmocninách a mocninách s racionálními mocniteli a pravidla pro početní operace se zlomky.

Podmínky, pro které mají iracionální algebraické výrazy smysl (je třeba určit vždy před výpočtem výrazu):

1. jmenovatel musí být různý od nuly
2. základy sudých odmocnin musí být nezáporné

Usměrňování výrazů (odstranění odmocnin ze jmenovatele), využíváme především vzorce pro rozdíl druhých resp. třetích mocnin, event. součet třetích mocnin viz binomická věta. Příklad:$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}.\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}{)}^2-1^2}$ = $\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1$ nebo: $\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Algebraický lomený výraz, úpravy

Šablona:Viz též Složený lomený výraz je lomený výraz, který má v čitateli i jmenovateli také lomený výraz: $\frac{\frac{V_1}{V_2}}{\frac{V_3}{V_4}}$ = $\frac{V_1}{V_2}:\frac{V_3}{V_4}$; platí že $V_1,V_2,V_3,V_4$ jsou libovolné lomené výrazy, přičemž pro všechny hodnoty proměnných je $V_2\ne 0;V_3\ne 0;V_4\ne 0$.

Krácení často provádíme při zjednodušování lomených výrazů. Aby bylo možné lomený výraz krátit, musí být jeho čitatel i jmenovatel zapsán ve tvaru součinu. Pokud tomu tak není, snažíme se lomený výraz nejprve vhodně upravit (což ovšem ne vždy lze).

Dosazování do výrazu

Šablona:Viz též Po dosazení hodnoty do daného výrazu za proměnnou vypočteme hodnotu výrazu.

Příklady

Určete hodnotu výrazu $3x^2-2x^3+2$ pro $x\in \{-1;0\}$

$x=-1$: $3.(-1{)}^2-2.(-1{)}^3+2=3+2+2=7$

$x=0$: $3.0^3-2.0^2+2=2$

Určete hodnotu výrazu $\frac{3-y^2}{y-1}$ pro $x\in \{0;1\}$ podmínky: $y-1\ne 0\Rightarrow y\ne 1$

$x=0$: $\frac{3-0^2}{0-1}=\frac{3}{-1}=-3$

$x=1$: není třeba počítat, protože zadaný výraz není pro hodnotu 1 definován (při výpočtu by ve jmenovateli zlomku byla nula)

Použití v praxi

S algebraickými výrazy v podobě vzorců se lze setkat nejen v matematice, ale také ve fyzice, chemii, zeměpisu (např. vzorec pro objem kvádru, výpočet rychlosti podle dráhy a času, vzdálenost dvou míst na Zemi podle jejích souřadnic) nebo ekonomice (výpočty daní, daňových zvýhodnění a podobně). Algebraické výrazy se také využívají při zápisu řešení slovních úloh.

Algebraický výraz je výraz, v němž se dosazuje za každou proměnnou hodnota z číselného oboru. Existují ale i nealgebraické výrazy (např. ve výrokové logice). Většinou lze z kontextu poznat, kdy výraz je, či není algebraický.

Související články

• Matematický výraz
• Polynom
• Dvojčlen
• Zlomek