Viètovy vzorce

Viètovy vzorce, pojmenované po Françoisi Viètovi, jsou vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomů.

Obecný zápis

Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1) $p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ s koeficienty $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0$ náležejícími $ℝ$ či $ℂ$, kde a_n≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x₁, x₂, ..., x_n. Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k nalezení n kořenů:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\dots +x_{n-1}+x_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n}\\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}.\end{array}$

Výrazy vlevo jsou tzv. elementární symetrické polynomy n proměnných (prvního až n-tého stupně).

${\sigma }_k(x_1,...,x_n)=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}.$

Tato soustava rovnic však zpravidla nemá jednodušší řešení než původní rovnice.

Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů.

Příklad

Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.

Mějme polynom: $p(x)=a{x}^2+bx+c$, s kořeny $x_1,x_2$, kde $p(x)=0$. Potom můžeme psát:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Pro racionální koeficienty lze někdy pomocí těchto vzorců kořeny uhádnout.

Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát následující.

Mějme polynom: $q(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, s kořeny $x_1,x_2,x_3$, kde $q(x)=0$. Potom:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$