Diskriminant

Grafy kvadratických funkcí v závislosti na hodnotě diskriminantu Δ. Znaménko diskriminantu určuje počet průsečíků s osou x (přímkou y = 0) a tedy počet (reálných) kořenů odpovídající kvadratické rovnice

Diskriminant (latinsky discriminare - rozlišit) je hodnota získaná z koeficientů polynomu, která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů, aniž bychom je znali. Používá se při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumání kvadratických polynomů.

Např. v případě kvadratických rovnic s reálnými koeficienty rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nacházejí její kořeny a o jejich násobnosti. Pro $D\ge 0$ jsou kořeny z množiny reálných čisel, která je podmnožinou množiny komplexních čísel. Právě pro $D=0$ má rovnice dvojnásobný (reálný) kořen. Pro $D<0$ jsou oba kořeny imaginární.

Diskriminant lze také obecněji definovat pro kvadratické formy.

Diskriminant kvadratických rovnic

Pro kvadratickou rovnici $a{x}^2+bx+c=0,$ (kde $a\ne 0$) je diskriminant $D=b^2-4ac$.

U rovnic s reálnými koeficienty znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:

• Pokud $D>0$, pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.
• Pokud $D=0$, pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$.
• Pokud $D<0$, pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}$.

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: $a{x}^2+c=0$ (kde $a,c\ne 0$), je $D_r=-4ac$:

• Pokud $D>0$ (liší se znaménko $a$ a $c$), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: $x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$.
• Pokud $D<0$ (shoduje se znaménko $a$ a $c$), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny: $x_{1,2}=\pm i\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru

$x^2+px+q=0$

je $D_n=p^2-4q$.

U rovnic s komplexními koeficienty diskriminant jen určuje existenci násobného kořene - právě v tomto případě je nulový.

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně

Šablona:Viz též Pro kořeny $x_1,x_2$ polynomu druhého stupně platí:

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ; $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.

Vyjádření: $b=-(x_1+x_2)a;$ $c=x_1{x}_{2}a$;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: $D=b^2-4ac=(x_1+x_2{)}^2{a}^2-4a^2{x}_1{x}_2=a^2(x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2)=a^2(x_1-x_2{)}^2.$

Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny $x_1,x_2$ je dán vztahem: $D=a^2(x_1-x_2{)}^2.$

• Dva různé reálné kořeny $x_1,x_2$ pro: $D=a^2(x_1-x_2{)}^2>0$
• Jeden dvojnásobný reálný kořen $x_1=x_2$ pro: $D=a^2(x_1-x_2{)}^2=0$
• Dva komplexně sdružené imaginární kořeny $x_1=m+ni,x_2=m-ni$ pro: $D=a^2(m+ni-m+ni{)}^2=-4a^2{n}^2<0.$

Diskriminant kubických rovnic

U kubické rovnice $a{x}^3+b{x}^2+cx+d,$ (kde $a\ne 0$) se diskriminant definuje s pomocí jejích kořenů $x_1,x_2,x_3$ vztahem

$D_3=a^4(x_1-x_2{)}^2(x_1-x_3{)}^2(x_2-x_3{)}^2.$

Lze ho vyjádřit díky symetrii (pomocí Viètových vzorců) jen pomocí koeficientů rovnice jako

$D=b^2{c}^2-4a{c}^3-4b^{3}d-27a^2{d}^2+18abcd.$

S reálnými koeficienty platí:

• Tři různé reálné kořeny pro $D>0.$

• Násobný kořen ze tří reálných pro $D=0.$

• Jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny pro $D<0.$

U rovnice v redukovaném tvaru

$x^3+px+q=0$

se počítá diskriminant jednodušeji jako

$D=-[(\frac{p}{3}{)}^3+(\frac{q}{2}{)}^2],$

což je $D_3/108.$

Diskriminant polynomu n−tého stupně

Diskriminantem polynomu $n$−tého stupně s kořeny $x_1,x_2,...,x_n$ rozumíme výraz $D_n(x_1,x_2,...,x_n)=a_n^{2n-2}\prod _{i<j}^n(x_i-x_j{)}^2=$

$=a_n^{2n-2}(x_1-x_2{)}^2(x_1-x_3{)}^2\cdots (x_2-x_3{)}^2(x_2-x_4{)}^2\cdots (x_3-x_4{)}^2\cdots (x_{n-1}-x_n{)}^2$

Jedná se v podstatě o součin všech kvadrátů rozdílů neuspořádaných dvojic kořenů. Proto je roven nule, právě když existuje násobný kořen.

U rovnice s reálnými koeficienty platí, že pokud má všechny kořeny reálné, je diskriminant nezáporný. Opak platí jen u rovnic nejvýše třetího stupně.

Diskriminant polynomu stupně n je symetrický polynom stupně n(n-1) jeho kořenů a lze jej vyjádřit pomocí Vietových vzorců jen pomocí koeficientů polynomu.

Diskriminant úzce souvisí s Vandermondovým determinantem:

$D_n=a_n^{2n-2}[\det 𝑽(x_1,x_2,...,x_n){]}^2$.

Související články

• Kvadratická rovnice
• Kubická rovnice
• Vandermondova matice

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld
• Řešené příklady
• Kubická rovnice