Usměrňování zlomku

Usměrňování zlomku je matematický postup, jehož cílem je odstranění odmocniny nebo výrazu (obsahující odmocniny) ze jmenovatele zlomku při zachování jeho hodnoty.

Princip usměrnění

Usměrnění se provádí rozšířením zlomku o vhodný výraz, tj. vynásobením čitatele i jmenovatele shodným výrazem (odmocninou nebo výrazem s odmocninou). Vychází z faktu:

• $\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot \frac{x}{x}=\frac{a\cdot x}{b\cdot x}$
• $\sqrt{x}.\sqrt{x}=x$

Částečné odmocnění

Částečné odmocňování je zmenšení čísla pod odmocninou. Číslo pod odmocninou se rozloží na součin dvou čísel (odmocnina z daného čísla musí být vždy celé číslo). Pokud není, pokračujeme v rozkladu až na součin prvočísel. Platí: $\surd a^2=|a|$; pro všechna a patřící do oboru reálných čísel.

Příklady:

$\sqrt{12}=\sqrt{4.3}=2.\sqrt{3}$

$\frac{3}{\sqrt{18}}=\frac{3}{\sqrt{2.9}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ; pak je třeba zlomek usměrnit viz příklad1

Příklady

Příklad 1 – odmocnina ve jmenovateli

Usměrnění zlomku $\frac{1}{\sqrt{2}}$:

Řešení: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Příklad 2 – číselný výraz ve jmenovateli

Usměrnění zlomku $\frac{5}{1+\sqrt{5}}$:

Je použit vzorec $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$; kde $a=1;b=\sqrt{5}$ při řešení:

Řešení: $\frac{5}{1+\sqrt{5}}=\frac{5}{1+\sqrt{5}}\cdot \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=\frac{5\cdot (1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})\cdot (1-\sqrt{5})}=\frac{5\cdot (1-\sqrt{5})}{1-5}=\frac{5}{-4}\cdot (1-\sqrt{5})$

Poznámka: Výsledek lze ve tvaru součinu použít k dalším matematickým operacím. Jedná-li se o výsledek, pak je třeba upravit číselný výraz roznásobením.

Příklad 3 – vyšší odmocniny

Usměrnění zlomku (lomeného výrazu): $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ :

Řešení: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^3}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}$ ; použity operace s reálným mocnitelem $a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=a$ viz mocnina

Příklad 4 – lomený výraz

Usměrnění algebraického výrazu $\frac{x}{\pi (\sqrt{r}-\sqrt{x})}$:

Řešení je obdobné, jako v předchozím případě:

$\frac{x}{\pi (\sqrt{r}-\sqrt{x})}=\frac{x}{\pi (\sqrt{r}-\sqrt{x})}\cdot \frac{\sqrt{r}+\sqrt{x}}{\sqrt{r}+\sqrt{x}}=\frac{x\cdot (\sqrt{r}+\sqrt{x})}{\pi \cdot (r-x)}$

Při úpravě lomeného výrazu musí být splněny podmínky, kdy je výraz definován (např. zde nesmí být $\sqrt{r}+\sqrt{x}=0$, což platí v oboru reálných čísel.

Příklad 5 – komplexní čísla

Usměrnění resp. dělení komplexním číslem: $\frac{2+3i}{1-4i}$:

Řešení: $\frac{2+3i}{1-4i}.\frac{1+4i}{1+4i}=\frac{2+8i+3i-12}{1+16}=\frac{-10+11i}{17}=-\frac{10}{17}+\frac{11}{17}i$

Související články

• Racionální číslo
• Algebraický výraz
• Odmocnina
• Zlomek