Jehlan

Jehlan

Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny – tento bod se obvykle nazývá (hlavní) vrchol jehlanu.

Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.

Obecné vlastnosti

Objem a povrch

Objem jehlanu se vypočítá jako

$V=\frac{S_p.v}{3}$,

kde $S_p$ je obsah podstavy a $v$ výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

$S=P+Q$,

kde $P$ je obsah podstavy a $Q$ je obsah pláště.

Z výše uvedených vzorců vyplývá, že se posunováním vrcholu jehlanu v rovině rovnoběžné s rovinou základny nemění objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch – ten může při posouvání vrcholu v dané rovině do velké vzdálenosti od podstavy růst nade všechny meze.

Souměrnost

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.). Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

Další vlastnosti

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o $n$ stranách, má jehlan:

• celkem $n+1$ vrcholů
• celkem $2\cdot n$ hran
• celkem $n+1$ stěn

Jehlan nemá tělesové úhlopříčky, stěnové mohou být jen v základně (pro n větší než 3). Jehlan je konvexní jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

Speciální případy

Pokud kolmice k podstavě procházející vrcholem protíná podstavu v jejím těžišti, nazýváme takový jehlan kolmý. Pokud tomu tak není, nazýváme jej kosý.

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Výpočet údajů v pravidelném $n$-bokém jehlanu určeném délkou podstavné hrany $a$a jeho výškou $v$:

Pravidelný kolmý jehlan

• Výška boční stěny:

$v_s=\frac{1}{2}\sqrt{4v^2+{(a\cdot \cot \frac{\pi }{n})}^2}$

• Délka boční hrany:

$s=\frac{1}{2}\sqrt{4v^2+{\left(\frac{a}{\sin \frac{\pi }{n}}\right)}^2}$

• Povrch:

$S=\frac{1}{4}n{a}^2\cot \frac{\pi }{n}(1+\sqrt{1+4{(\frac{v}{a}\tan \frac{\pi }{n})}^2})$

• Objem:

$V=\frac{1}{12}n{a}^{2}v\cdot \cot \frac{\pi }{n}$

• Sklon boční hrany:

$\alpha =\arctan (2\frac{v}{a}\sin \frac{\pi }{n})$

• Sklon boční stěny:

$\beta =\arctan (2\frac{v}{a}\tan \frac{\pi }{n})$

• Odchylka bočních hran:

$\gamma =2\arctan \frac{a}{\sqrt{4v^2+a^2{\cot }^2\frac{\pi }{n}}}$

• Odchylka boční a podstavné hrany:

$\delta =\arctan \sqrt{4{\left(\frac{v}{a}\right)}^2+{\cot }^2\frac{\pi }{n}}$

• Odchylka bočních stěn:

$\epsilon =2\arcsin \sqrt{\frac{4v^2{\sin }^2\frac{\pi }{n}+a^2}{4v^2{\tan }^2\frac{\pi }{n}+a^2}}$, speciálně pro $n=4$ je $\epsilon =2\arcsin \sqrt{\frac{2v^2+a^2}{4v^2+a^2}}$

Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn.

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem $V$ a obsah $S$ lze vypočítat z délky jeho hrany:

• $S=a^2\sqrt{3}$
• $V=\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{12}\end{array}{a}^3$

Jeho výšku lze vypočítat jako $v=(a/3)\sqrt{6}$ .

Pravidelný čtyřboký jehlan

Pravidelný čtyřboký jehlan a jeho rozvinutý povrch.

Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objem $V$ a povrch $S$ lze vypočítat z délky strany základny $a$ a výšky $v$:

• $V=\frac{1}{3}{a}^{2}v$
• $S=a(a+\sqrt{4v^2+a^2})$

Vícerozměrná geometrická tělesa

d=2	trojúhelník	čtverec	šestiúhelník	pětiúhelník
d=3	jehlan	krychle, oktaedr	krychloktaedr, kosočtverečný dvanáctistěn	dvanáctistěn, dvacetistěn
d=4	5nadstěn	teserakt, 16nadstěn	24nadstěn	120nadstěn,600nadstěn
d=5	5simplex	penterakt, 5ortoplex
d=6	6simplex	hexerakt, 6ortoplex
d=7	7simplex	hepterakt, 7ortoplex
d=8	8simplex	okterakt, 8ortoplex
d=9	9simplex	ennerakt, 9ortoplex
d=10	10simplex	dekerakt, 10ortoplex
d=11	11simplex	hendekerakt, 11ortoplex
d=12	12simplex	dodekerakt, 12ortoplex
d=13	13simplex	triskaidekerakt, 13ortoplex
d=14	14simplex	tetradekerakt, 14ortoplex
d=15	15simplex	pentadekerakt, 15ortoplex
d=16	16simplex	hexadekerakt, 16ortoplex
d=17	17simplex	heptadekerakt, 17ortoplex
d=18	18simplex	oktadekerakt, 18ortoplex
d=19	19simplex	ennedekerakt, 19ortoplex
d=20	20simplex	ikosarakt, 20ortoplex

Literatura

• Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, Šablona:ISBN, str. 104-106
• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, Šablona:ISBN, str. 117-120

Související články

• Geometrický útvar
• Mnohostěn
• Komolý jehlan
• Válec
• Platónská tělesa

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Wikislovník