Pětiúhelník

Šablona:Infobox - mnohoúhelník Pětiúhelník (cizím slovem pentagon) je rovinný obrazec, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).

Pravidelný pětiúhelník je v podstatě složen z pěti shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost $\frac{3 π}{10}$ a při vrcholu $\frac{2 π}{5}$ .

Vlastnosti

Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

poměr délek úhlopříčky a strany je roven zlatému řezu
jedna úhlopříčka protíná druhou tak, že délky vzniklých částí jsou opět v poměru zlatého řezu

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru

1 : (1 - \frac{\sqrt{5} - 1}{2}) = 1 : \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}

.

Obsah S pravidelného pětiúhelníku o délce strany a je:

\begin{matrix} S & = \frac{\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}}{4} \cdot a^{2} = \frac{\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}}{4} \cdot a^{2} = \frac{5 a^{2} \tan 5 4^{\circ}}{4} \approx 1.720 a^{2} \end{matrix}

Historie

Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

Konstrukce

Pentagon je jedním z mála pravidelných mnohoúhelníků (s lichým počtem stran), který lze sestrojit euklidovsky, tzn. jen kružítkem a pravítkem.

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Pětiúhelník v soustavě souřadnic

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu $S$ [ $x_{0}$ ; $y_{0}$ ], obdržíme při poloměru kružnice opsané $k$ a natočení vrcholu nejbližšího ose $x$ v jejím kladném směru o úhel $ω$ oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

	x	y
$X_{1}$	$x_{0} + k \cdot \cos ω$	$y_{0} + k \cdot \sin ω$
$X_{2}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + \frac{2 π}{5})$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + \frac{2 π}{5})$
$X_{3}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + \frac{4 π}{5})$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + \frac{4 π}{5})$
$X_{4}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + \frac{6 π}{5})$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + \frac{6 π}{5})$
$X_{5}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + \frac{8 π}{5})$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + \frac{8 π}{5})$

Body vnitřního pětiúhelníku mají následující souřadnice:

	x	y
$Y_{1}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + \frac{π}{5}) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + \frac{π}{5}) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$Y_{2}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + \frac{3 π}{5}) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + \frac{3 π}{5}) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$Y_{3}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + π) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + π) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$Y_{4}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + \frac{7 π}{5}) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + \frac{7 π}{5}) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$Y_{5}$	$x_{0} + k \cdot \cos (ω + \frac{9 π}{5}) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_{0} + k \cdot \sin (ω + \frac{9 π}{5}) \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Odkazy

Související články

Penroseovo dláždění

Externí odkazy

Šablona:Pahýl

Šablona:Mnohoúhelníky Šablona:Autoritní data

Šablona:Portály