Věta o inverzní funkci

Věta o inverzní funkci v diferenciálním počtu v matematice je postačující podmínka, aby k funkci existovalo inverzní zobrazení v okolí nějakého bodu svého definičního oboru: musí existovat derivace této funkce, která je spojitá a v daném bodě nenulová. Věta také udává vzorec pro derivaci inverzní funkce. V diferenciálním a integrálním počtu funkcí mnoha proměnných lze tuto větu zobecnit na jakoukoli spojitě diferencovatelnou vektorovou funkci, jejíž Jacobián je nenulový v nějakém bodě jejího definičního oboru, což dává vzorec pro Jacobiho matici inverzní funkce. Existují také verze věty o inverzní funkci pro holomorfní funkce v oboru komplexních čísel, pro derivovatelná zobrazení mezi varietami, pro derivovatelná funkce mezi Banachovými prostory atd.

Tvrzení věty

Pro funkce jedné proměnné věta tvrdí, že pokud $f$ je spojitě derivovatelná funkce s nenulovou derivací v bodě Šablona:Mvar, pak $f$ je v okolí bodu Šablona:Mvar invertovatelná, inverzní funkce je spojitě derivovatelná, a derivace inverzní funkce v bodě $b=f(a)$ se rovná převrácené hodnotě derivace funkce $f$ v bodě $a$Šablona:Sfn:

$(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}.$

Alternativní verze, která předpokládá, že $f$ je spojitá a prostá (injektivní) v okolí bodu Šablona:Mvar, diferencovatelná v bodě Šablona:Mvar s nenulovou hodnotou derivace, také vede k výsledku, že $f$ má inverzní funkci v okolí bodu Šablona:Mvar, která je spojitá a injektivní, a pro kterou platí výše uvedený vzorec.

Jasně vidíme, že důsledkem je, že pokud funkce $f$ má v bodě Šablona:Mvar $k$ nenulových derivací, pak má $f$ inverzní funkci v okolí bodu Šablona:Mvar, která má také $k$ derivací. $k$ může být kladné celé číslo nebo $\mathrm{\infty }$.

Pro funkce více než jedné proměnné věta tvrdí, že pokud Šablona:Mvar je spojitě derivovatelná funkce z otevřené podmnožiny ${ℝ}^n$ do ${ℝ}^n$ a totální derivace je invertovatelná v bodě Šablona:Mvar (tj. Jacobián funkce Šablona:Mvar v Šablona:Mvar je nenulový), pak Šablona:Mvar je invertovatelná v okolí Šablona:Mvar: inverzní funkce na Šablona:Mvar je definovaná na nějakém okolí bodu $q=F(p)$. Pokud píšeme $F=(F_1,\dots ,F_n)$, to znamená, že systém Šablona:Mvar rovnic $y_i=F_i(x_1,\dots ,x_n)$ má jednoznačné řešení pro $x_1,\dots ,x_n$ kvůli/pomocí $y_1,\dots ,y_n$, za předpokladu, že, omezíme Šablona:Mvar a Šablona:Mvar na dostatečně malé okolí Šablona:Mvar a Šablona:Mvar, po řadě. V nekonečněrozměrném případě věta vyžaduje zvláštní hypotézu, podle které Fréchetova derivace funkce Šablona:Mvar v bodě Šablona:Mvar má omezenou inverzi.

Věta navíc říká, že inverzní funkce $F^{-1}$ je spojitě derivovatelná a derivace jejího Jacobiánu v $q=F(p)$ je inverzní matice k Jacobiánu funkce Šablona:Mvar v bodě Šablona:Mvar:

$J_{F^{-1}}(q)=[J_F(p){]}^{-1}.$

Obtížnou částí věty je důkaz existence a derivovatelnosti inverzní funkce $F^{-1}$. Z toho již vzorec pro derivaci inverzní funkce vyplývá z řetízkového pravidla použitého na $F^{-1}\circ F=\text{id}$:

$I=J_{F^{-1}\circ F}(p)=J_{F^{-1}}(F(p))\cdot J_F(p)=J_{F^{-1}}(q)\cdot J_F(p).$

Příklad

Uvažujme vektorovou funkci $F:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ definovanou vztahem:

$F(x,y)=\left[\begin{array}{c}{e}^x\cos y\\ e^x\sin y\end{array}\right].$

Její Jacobiho matice je:

$J_F(x,y)=\left[\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right]$

a Jacobián:

$\det J_F(x,y)=e^{2x}{\cos }^{2}y+e^{2x}{\sin }^{2}y=e^{2x}.$

Determinant $e^{2x}$ je všude nenulový. Věta tedy zaručuje, že pro každý bod Šablona:Mvar z ${ℝ}^2$, existuje nějaké jeho okolí, na kterém je Šablona:Mvar invertovatelná. To neznamená, že Šablona:Mvar je invertovatelná na celém svém definičním oboru: v tomto případě není Šablona:Mvar ani injektivní, protože je periodická: $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$.

Protipříklad

Funkce $f(x)=x+2x^2\sin (\frac{1}{x})$ je omezená v kvadratické obálce v okolí přímky $y=x$, takže $f^{\prime }(0)=1$. Má však lokální extrémy hromadící se v bodě $x=0$, takže není vzájemně jednoznačným zobrazením na žádném okolním intervalu.

Vynecháme-li předpoklad, že derivace musí být spojitá, pak funkce nemusí být invertovatelná. Například $f(x)=x+2x^2\sin (\frac{1}{x})$ a $f(0)=0$ nemá spojitou derivaci $f^{\prime }(x)=1-2\cos (\frac{1}{x})+4x\sin (\frac{1}{x})$ a $f^{\prime }(0)=1$, která neexistuje libovolně blízko bodu $x=0$. Tyto kritické body jsou lokální extrémy funkce $f$, takže $f$ není vzájemně jednoznačná (a není invertovatelná) na žádném intervalu, který obsahuje $x=0$. Intuitivně se směrnice $f^{\prime }(0)=1$ nerozšířuje na blízké body, ve kterých mají směrnice mírné, ale velmi rychlé oscilace.

Metody důkazu

Díky důležitosti věty o inverzní funkci existuje mnoho jejích důkazů. V učebnicích je obvykle uveden důkaz, který používá princip kontrakce známý také jako Banachova věta o pevném bodě (který lze také použít jako klíčový krok v důkazu existence a jednoznačnosti řešení obyčejné diferenciální rovnice).

Protože věta o pevném bodě je platí i v nekonečněrozměrném (Banachově) prostoru, její důkaz lze okamžitě zobecnit na nekonečněrozměrnou verzi věty o inverzní funkci (viz část Zobecnění níže).

Alternativní důkaz pro konečněrozměrný prostor je založen na Weierstrassově větě pro funkce na kompaktní množině.

Důkaz, který používá Newtonovu metodu, má tu výhodu, že poskytuje efektivní verzi věty: meze derivace funkce dávají odhad velikosti okolí, na kterém je funkce invertovatelná.

Zobecnění

Variety

Větu o inverzní funkci lze přeformulovat pro derivovatelná zobrazení mezi derivovatelnými varietami. V tomto případě věta tvrdí, že pro derivovatelné zobrazení $F:M\to N$ (třídy $C^1$), pokud diferenciál funkce $F$

$d{F}_p:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

je lineární izomorfismus v nějakém bodě $p$ množiny $M$, pak existuje otevřené okolí $U$ bodu $p$ tak, že

$F{|}_U:U\to F(U)$

je difeomorfismus. Z toho plyne, že Šablona:Mvar a Šablona:Mvar musí mít v bodě Šablona:Mvar stejný rozměr. Pokud derivace funkce Šablona:Mvar je izomorfismem pro všechny body Šablona:Mvar v Šablona:Mvar, pak zobrazení Šablona:Mvar je lokální difeomorfismus.

Banachovy prostory

Věta o inverzní funkci může také být zobecněný na derivovatelná zobrazení mezi Banachovými prostory Šablona:Mvar a Šablona:Mvar. Nechť Šablona:Mvar jsou otevřené okolí počátku v Šablona:Mvar a $F:U\to Y$ a spojitě derivovatelná funkce a předpokládáme, že Fréchetova derivace $d{F}_0:X\to Y$ funkce Šablona:Mvar v bodě 0 je omezený lineární izomorfismus z Šablona:Mvar na Šablona:Mvar. Pak existuje otevřené okolí Šablona:Mvar bodu $F(0)$ v Šablona:Mvar a spojitě derivovatelné zobrazení $G:V\to X$ tak, že $F(G(y))=y$ pro všechna Šablona:Mvar ve Šablona:Mvar. Navíc $G(y)$ je jediné dostatečně malé řešení Šablona:Mvar rovnice $F(x)=y$.

Banachovy variety

Uvedené dva směry zobecnění lze zkombinovat do věty o inverzní funkci pro Banachovy variety.

Věta o konstantním ranku

Větu o inverzní funkci (a větu o implicitní funkci) lze chápat jako speciální případ věty o konstantním ranku, která říká, že hladké zobrazení s konstantním rankem v okolí bodu lze vyjádřit v určité normální formě v okolí tohoto bodu. Konkrétně pokud $F:M\to N$ má konstantní rank v okolí nějakého bodu $p\in M$, pak existuje otevřené okolí Šablona:Mvar bodu Šablona:Mvar a otevřené okolí Šablona:Mvar bodu $F(p)$ a existují diffeomorfismy $u:T_{p}M\to U$ a $v:T_{F(p)}N\to V$ takové, že $F(U)\subseteq V$ tak, že derivace $d{F}_p:T_{p}M\to T_{F(p)}N$ se rovná $v^{-1}\circ F\circ u$. To znamená, že funkce Šablona:Mvar „vypadá jako“ její derivace v okolí bodu Šablona:Mvar. Z polospojitosti rankové funkce plyne, že existuje otevřená hustá podmnožina definičního oboru funkce Šablona:Mvar, na které má derivace konstantním rank. Věta o konstantním ranku tedy platí v libovolném bodě definičního oboru.

Je-li derivace Šablona:Mvar injektivní (příp. surjektivní) v bodě Šablona:Mvar, pak je také injektivní (příp. surjektivní) v jeho okolí, a proto rank funkce Šablona:Mvar je na tomto okolí konstantní, a proto věta o konstantním ranku platí.

Holomorfní funkce

Pokud je holomorfní funkce Šablona:Mvar definovaná na otevřené podmnožině Šablona:Mvar prostoru ${ℂ}^n$, kterou zobrazuje do ${ℂ}^n$ a komplexní derivace Jacobiho matice je invertovatelná v nějakém bodě Šablona:Mvar, pak Šablona:Mvar je invertovatelná funkce v okolí Šablona:Mvar. To okamžitě vyplývá z verze pro více reálných proměnných. Je možné také ukázat, že inverzní funkce je opět holomorfní.

Odkazy

Související články

• Banachova věta o pevném bodě

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie