Totální derivace

Totální (úplná) derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými. Totální derivace funkce $f(x_1,x_2,...,x_n)$ podle proměnné $x_i$ se zapisuje stejně jako obyčejná derivace, tzn. $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}{x}_i}$. Totální derivaci lze vyjádřit pomocí parciálních derivací.

Při určování parciální derivace funkce $f(x_1,x_2,...,x_n)$ podle $x_i$ považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty. Jestliže však existuje nějaká závislost mezi jednotlivými proměnnými, pak ji parciální derivace nezachytí.

Uvažujme např. funkci $f(x,y)=xy$. Parciální derivace podle $x$ je $\frac{\partial f}{\partial x}=y$. Pokud však proměnné $x$ a $y$ nejsou nezávislé, pak získaná parciální derivace nevyjadřuje závislost funkce $f$ na $x$ dostatečně. Předpokládejme, že závislost mezi $x$ a $y$ lze vyjádřit jako $y=g(x)$. V takovém případě je $f(x,y)=f(x,g(x))$ a jedná se tedy o parciální derivaci složené funkce, tzn.

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

Jsou-li obě proměnné $x$ i $y$ závislé na další proměnné $t$, tzn. $x=x(t),y=y(t)$, pak totální derivace $f$ podle $t$ je

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.$

Totální derivace se často používá ve fyzice.

Související články

• Totální diferenciál