Frobeniův skalární součin

V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.

Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.

Definice a značení

Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic $𝑨\in {ℝ}^{m\times n}$ a $𝑩\in {ℝ}^{m\times n}$ je definován výrazem:

$⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ij}$

Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze $mn$. Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.

Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic $𝑨\in {ℂ}^{m\times n}$ a $𝑩\in {ℂ}^{m\times n}$ je dán výrazem:

$⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\overline{b_{ij}}$

Pruh značí komplexně sdružené číslo.

Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili

$⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\overline{a_{ij}}{b}_{ij}$

ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.

Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic $𝑨$ a $𝑩$ někdy zapisuje $𝑨:𝑩$.

Vztak k Hadamardovu součinu

Jsou-li $𝑨$ a $𝑩$ reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.

Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené "$\mathrm{vec}$"), pak pro

$\mathrm{vec}𝑨=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{12}\\ ⋮\\ a_{21}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{nm}\end{array}\right)$ a $\mathrm{vec}𝑩=\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\ b_{12}\\ ⋮\\ b_{21}\\ b_{22}\\ ⋮\\ b_{nm}\end{array}\right)$ platí

$(\mathrm{vec}𝑨{)}^{\mathrm{T}}\overline{\mathrm{vec}𝑩}=(a_{11},a_{12},\dots ,a_{21},a_{22},\dots ,a_{nm})\left(\begin{array}{c}\overline{b_{11}}\\ \overline{b_{12}}\\ ⋮\\ \overline{b_{21}}\\ \overline{b_{22}}\\ ⋮\\ \overline{b_{nm}}\end{array}\right)$

Odtud plyne přímo $⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=(\mathrm{vec}𝑨{)}^{\mathrm{T}}\overline{\mathrm{vec}𝑩}$.

Frobeniova norma

Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:

$\Vert 𝑨{\Vert }_{\mathrm{F}}=\sqrt{⟨𝑨,𝑨{⟩}_{\mathrm{F}}}$

Ukázky

Reálné matice

Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu $2\times 3$

$𝑨=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 6\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$ a $𝑩=\left(\begin{array}{ccc}8& -3& 2\\ 4& 1& -5\end{array}\right)$

je roven

$\begin{array}{cc}⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}& =2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\ & =21\end{array}$

Komplexní matice

Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu $2$

$𝑨=\left(\begin{array}{cc}1+\mathrm{i}& -2\mathrm{i}\\ 3& -5\end{array}\right)$ a $𝑩=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\mathrm{i}\\ 4-3\mathrm{i}& 6\end{array}\right)$

platí

$\begin{array}{cc}⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}& =(1+\mathrm{i})\cdot (-2)+(-2\mathrm{i})\cdot (-3\mathrm{i})+3\cdot (4+3\mathrm{i})+(-5)\cdot 6\\ & =-26+7\mathrm{i}\end{array}$

zatímco

$\begin{array}{cc}⟨𝑩,𝑨{⟩}_{\mathrm{F}}& =(-2)\cdot (1-\mathrm{i})+3\mathrm{i}\cdot 2\mathrm{i}+(4-3\mathrm{i})\cdot 3+6\cdot (-5)\\ & =-26-7\mathrm{i}\end{array}$

Frobeniův skalární součin matice $𝑨$ se sebou samou a součin $𝑩$ se sebou samou jsou

$⟨𝑨,𝑨{⟩}_{\mathrm{F}}=2+4+9+25=40$ a $⟨𝑩,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=4+9+25+36=74$.

Vlastnosti

Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:

$⟨𝑨+𝑩,𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}=⟨𝑨,𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}+⟨𝑩,𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}$   a   $⟨c𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=c⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}$

a také semilineární v druhém argumentu, tedy.

$⟨𝑨,𝑩+𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}=⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}+⟨𝑨,𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}$   a   $⟨𝑨,c𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=\bar{c}⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}$.

Dále je hermitovská forma, neboli

$⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=\overline{⟨𝑩,𝑨{⟩}_{\mathrm{F}}}$,

a také pozitivně definitní:

$⟨𝑨,𝑨{⟩}_{\mathrm{F}}\ge 0$   a   $⟨𝑨,𝑨{⟩}_{\mathrm{F}}=0\iff 𝑨=0$.

Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty $|z{|}^2=\overline{z}z$.

Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na $ℝ$ se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.

Reprezentace pomocí stopy

Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice

$⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=\mathrm{tr}({𝑨}^{\mathrm{T}}𝑩)=\mathrm{tr}(𝑩{𝑨}^{\mathrm{T}})$,

kde ${𝑨}^{\mathrm{T}}$ je matice transponovaná k $𝑨$. Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:

$⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=\mathrm{tr}({𝑨}^{\mathrm{H}}𝑩)=\mathrm{tr}(𝑩{𝑨}^{\mathrm{H}})$,

kde ${𝑨}^{\mathrm{H}}$ je hermitovská transpozice matice $𝑨$.

Přesun mezi argumenty

Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny $𝑨\in {ℝ}^{l\times m},𝑩\in {ℝ}^{m\times n}$ a $𝑪\in {ℝ}^{l\times n}$:

$⟨𝑨𝑩,𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}=\mathrm{tr}(𝑪(𝑨𝑩{)}^{\mathrm{T}})=\mathrm{tr}(𝑪{𝑩}^{\mathrm{T}}{𝑨}^{\mathrm{T}})=⟨𝑨,{𝑪𝑩}^{\mathrm{T}}{⟩}_{\mathrm{F}}=⟨𝑩,{𝑨}^{\mathrm{T}}𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}$.

Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny $𝑨\in {ℂ}^{l\times m},𝑩\in {ℂ}^{m\times n}$ a $𝑪\in {ℂ}^{l\times n}$:

$⟨𝑨𝑩,𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}=⟨𝑨,{𝑪𝑩}^{\mathrm{H}}{⟩}_{\mathrm{F}}=⟨𝑩,{𝑨}^{\mathrm{H}}𝑪{⟩}_{\mathrm{F}}$.

Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.

Invariance

Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic $𝑨,𝑩\in {ℝ}^{m\times n}$

$⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}=⟨{𝑨}^{\mathrm{T}},{𝑩}^{\mathrm{T}}{⟩}_{\mathrm{F}}$ .

Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic $𝑨,𝑩\in {ℂ}^{m\times n}$ platí obdobně následující.

$\overline{⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}}=⟨{𝑨}^{\mathrm{H}},{𝑩}^{\mathrm{H}}{⟩}_{\mathrm{F}}$ .

Vlastnosti Frobeniovy normy

Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.

$|⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}|\le \Vert 𝑨{\Vert }_{\mathrm{F}}\Vert 𝑩{\Vert }_{\mathrm{F}}$.

Z nerovnosti vyplývá odhad

$|⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}{|}^2\le \mathrm{tr}({𝑨}^{\mathrm{H}}𝑨)\cdot \mathrm{tr}({𝑩}^{\mathrm{H}}𝑩)$.

V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.

Odhad přes singulární hodnoty

Jsou-li ${\sigma }_1(𝑨),\dots ,{\sigma }_r(𝑨)$ singulární hodnoty $𝑨$ a ${\sigma }_1(𝑩),\dots ,{\sigma }_r(𝑩)$ singulární hodnoty $𝑩$ s $r=\min \{m,n\}$, pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad

$|⟨𝑨,𝑩{⟩}_{\mathrm{F}}|\le \sum _{i=1}^r{\sigma }_i(𝑨){\sigma }_i(𝑩)\le \Vert 𝑨{\Vert }_{\mathrm{F}}\Vert 𝑩{\Vert }_{\mathrm{F}}$,

Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Bilineární forma
• Cauchyho-Schwarzova nerovnost
• Norma
• Skalární součin
• Stopa matice