Cauchyho–Schwarzova nerovnost

V matematice je Cauchyho–Schwarzova nerovnost (též známá jako: Schwarzova, Bunjakovského, Cauchyho–Bunjakovského nebo Cauchyho–Bunjakovského–Schwarzova nerovnost) užitečná nerovnost často používaná v různých odvětvích matematiky, jako je lineární algebra, analýza nebo teorie pravděpodobnosti. Bývá považována za jednu z nejdůležitějších nerovností v matematice. Má různá zobecnění, mezi nejdůležitější patří Hölderova nerovnost.

Znění

Na unitárním prostoru $𝒱$ se skalárním součinem $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ platí:

$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩⟨y,y⟩\mathrm{\forall }x,y\in 𝒱$.

Můžeme obě strany nerovnosti odmocnit a dostaneme ekvivalentní tvrzení:

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert \mathrm{\forall }x,y\in 𝒱$.

Navíc, rovnost nastává právě tehdy, když jsou $x$ a $y$ lineárně závislé.

Důkaz

Pro každé $x,y\ne 0$ existuje $z$ takové, že:

$x=\lambda y+z$, kde $\lambda =\frac{⟨x,y⟩}{⟨y,y⟩},z\mathrm{\perp }y$.

Za použití Pythagorovy věty dostaneme:

$\Vert x{\Vert }^2=|\lambda {|}^2\Vert y{\Vert }^2+\Vert z{\Vert }^2\ge |\lambda {|}^2\Vert y{\Vert }^2=\frac{|⟨x,y⟩{|}^2}{\Vert y{\Vert }^4}\Vert y{\Vert }^2=\frac{|⟨x,y⟩{|}^2}{\Vert y{\Vert }^2}$

Z čehož plyne:

$\Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2\ge |⟨x,y⟩{|}^2$.

Což je po úpravě požadovaná nerovnost.

Pokud máme rovnost, tak nutně $\Vert z\Vert =0\Rightarrow z=0$ a tudíž: $x=\lambda y$ jsou $x,y$ lineárně závislé.

Související články

• Trojúhelníková nerovnost