Kombinační číslo

Binomické koeficienty lze uspořádat do tvaru Pascalova trojúhelníka, ve kterém je každá hodnota součtem dvou hodnot ležících nad ní. Pokud počítáme od nuly, tak na $n$-tém řádku odshora a $k$-té pozici na daném řádku se nachází $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

Znázornění binomické expanze do čtvrté mocniny

Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat $k$-prvkovou podmnožinu (bez ohledu na pořadí jejích prvků) z $n$-prvkové množiny ($k$ a $n$ jsou čísla přirozená). Kombinační čísla zapisujeme $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ (čte se „n nad k“), někdy se používá také značení ${}_n{C}_k$, $C(n,k)$ či $C_n^k$. Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\{\begin{array}{ccc}\frac{n!}{k!(n-k)!}& & \text{pro }n\ge k\ge 0;\\ 0& & \text{jinak,}\end{array}$

Platí rovnost

$1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}).$

Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice, velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení.

Základní vlastnosti

Pro přirozená čísla n a k, kde $0\leqq k\leqq n$ a $m\in \mathbb{N}$, platí:

Zobecnění kombinačních čísel

Pokud definujeme kombinační číslo takto

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{k})=\frac{z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}$,

kde $k$ je nezáporné celé číslo, pak je zřejmé, že pravá strana má smysl, i když číslo $z$ není celé nezáporné. Na číslo $z$ dokonce nemusíme klást žádné podmínky, může se jednat dokonce o číslo komplexní. Vztah je tedy přirozeným zobecněním kombinačních čísel a je používán hlavně v zobecněné binomické větě.

Další možnou definici nám umožňuje nahrazení faktoriálu gama funkcí

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{k})=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{\mathrm{\Gamma }(z-k+1)\mathrm{\Gamma }(k+1)}$,

kde $z$ i $k$ mohou být komplexní čísla – pak ovšem nebudou platit popsané vlastnosti kombinačních čísel pro všechny hodnoty.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Pascalův trojúhelník
• Binomická věta
• Pravidlo součtu
• Kombinatorika
• Variace – na rozdíl od kombinace, u variace záleží na pořadí vybraných prvků.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Kombinační číslo na encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Kalkulátor kombinačního čísla