Pravidlo součtu

Pravidlo součtu nebo adiční princip je základní kombinatorický princip v kombinatorice. Jednoduše řečeno se jedná o úvahu, že když máme a způsobů, jak něco udělat, a b, jak dělat něco jiného, a není možné dělat obojí ve stejnou chvíli, pak existuje a + b způsobů, jak vybrat některou činnost.

Víc formálně, pravidlo součtu je fakt o teorii množin. Tvrdí, že součet velikostí konečné kolekce disjunktních množin je velikost sjednocení těchto množin. Tedy, když $S_1,S_2,...,S_n$ jsou vzájemně disjunktní množiny, pak platí:

Jednoduchý příklad

Žena se dnes rozhodla nakoupit v jednom obchodě, buď v severní, nebo jižní části města. Pokud navštíví sever města, nakupovat bude v nákupním centru, nebo v nábytkářství, nebo v bižuterii (3 možnosti). Pokud půjde na jih, nakoupí v textilním centru nebo v obuvnictví (2 možnosti).

Pak existuje 3+2=5 obchodů, v kterých může žena dnes nakoupit.

Souvislost s principem inkluze a exkluze

Šablona:Podrobně Princip inkluze a exkluze možno chápat jako zobecnění pravidla součtu v tom smyslu, že také vypočítává počet prvků v sjednocení nějakých množin (ale nepožaduje, aby množiny byly disjunktní). Tvrdí, že pokud A₁, ..., A_n jsou konečné množiny, pak

$\begin{array}{cc}\left|\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right|& =\sum _{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum _{i,j:1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j|\\ & +\sum _{i,j,k:1\le i<j<k\le n}|A_i\cap A_j\cap A_k|-\cdots +{(-1)}^{n-1}|A_1\cap \cdots \cap A_n|.\end{array}$

Související principy

• Kombinatorický princip
• Pravidlo součinu